New pages

14:37, 23 January 2025 ‎27429 (hist | edit) ‎[1,019 bytes] ‎Andrei.Horvat (talk | contribs) (Created page with "'''27429 (Radu Pop și Vasile Ienutaș, Baia Mare)''' ''Fie <math>A, B \in M_3(\mathbb{R})</math> cu proprietatea că <math>A^2 + B^2 = 2AB + BA</math>. Să se arate că'' <math> \det(4AB - BA) + \det(AB - 4BA) = 10\det(AB + 2BA) - 10\det(2AB + BA). </math> '''Soluție''' Avem <math> |\det(A + iB)|^2 = \det((A - iB)(A + iB)) = \det(A^2 + B^2 + i(AB - BA)) = \det(2AB + BA + i(AB - BA)). </math> Fie <math>f = \det(2AB + BA + X(AB - BA)) \in \mathbb{C}[X]</math>. Av...")
14:22, 23 January 2025 ‎E:15414 (hist | edit) ‎[1,437 bytes] ‎Andrei.Horvat (talk | contribs) (Created page with "'''E:15414 (Cristina Vijdeluc și Mihai Vijdeluc)''' ''Aflați numerele prime <math>a, b, c, d</math> pentru care <math>29a^5 + 39b^2 + 38c + 20d = 2019</math>.'' '''Soluție''' Din <math>29a^5 \leq 2019</math> deducem că <math>a^5 \leq 69</math> și deci <math>a = 2</math>. Relația devine <math>39b^2 + 38c + 20d = 1091, \quad (1).</math> Din <math>39b^2 \leq 1091</math> deducem că <math>b^2 \leq 27</math>. Dacă <math>b = 2</math>, relația <math>(1)</math...")
16:54, 19 January 2025 ‎E:15760 (hist | edit) ‎[1,129 bytes] ‎Andrei.Horvat (talk | contribs) (Created page with "'''E:15760 (Cristina și Mihai Vijdeluc)''' ''Aflați numerele <math>\overline{abcd}</math> și <math>n</math> pentru care <math>\overline{abcd}+a+b+c+d=n!</math>.'' '''Soluție.''' Cum <math>1001 \le \overline{abcd}+a+b+c+d \le 10035</math>, avem <math>1001 \le n! \le 10035</math>, de unde rezultă <math>n=7</math>, cu <math>n! = 7! = 5040</math>. Deoarece <math>1 \le a+b+c+d \le 36</math>, rezultă <math>5004 \le \overline{abcd} \le 5039</math>, ceea ce implică <...")
13:02, 19 January 2025 ‎E:16552 (hist | edit) ‎[886 bytes] ‎Andrei.Horvat (talk | contribs) (Created page with "'''E:16552 (Cristina Vijdeluc, Salonic și Mihai Vijdeluc)''' ''Aflați cifrele <math>a, b, c</math> astfel încât <math>\overline{a,b(c)} = \frac{\overline{c7}}{\overline{c0}}</math>.'' '''Soluție''' Se observă că <math>c \neq 0</math>. De asemenea, <math>\frac{\overline{c7}}{\overline{c0}} = \frac{\overline{c0} + 7}{\overline{c0}} = 1 + \frac{7}{c \cdot 10}</math>. Fracția ordinată <math>\frac{7}{c \cdot 10}</math> se transformă într-o fracție zecimal...")
08:28, 19 January 2025 ‎26927 (hist | edit) ‎[1,177 bytes] ‎Andrei.Horvat (talk | contribs) (Created page with "'''26927 (Radu Pop și Vasile Ienuțaș)''' ''Polinomul <math>f = ax^3 + bx^2 + cx + d\in \mathbb{R}\left[X\right]</math> are toate rădăcinile reale și verifică inegalitatea <math>b^2 - 4ac < ad - 4a^2</math>. Să se arate că rădăcinile nu pot fi toate strict pozitive.'' '''Soluție.''' Inegalitatea <math>b^2 - 4ac < ad - 4a^2</math> este echivalentă cu <math>\left(-\frac{b}{a}\right)^2 - 4\cdot \frac{c}{a}< \frac{d}{a} - 4</math>, ceea ce este echivalent...")
11:55, 17 January 2025 ‎14309 (hist | edit) ‎[1,322 bytes] ‎Bogdan.Pop (talk | contribs) (Created page with "'''E:14309 (Bogdan Pop)'''") Tag: Visual edit
02:48, 17 January 2025 ‎E14309 (hist | edit) ‎[0 bytes] ‎Danciu Daniel (talk | contribs) (Created page with "'''E:14309. (Alexandru Vele, Târgu Lăpuș)''' ''Determinați numerele naturale'' <math>a_1, a_2, a_3, a_4, a_5, a_6, a_7</math> ''astfel încât să avem egalitatea:'' ''2012 ='' <math>a_1 \cdot 3^x + a_2 \cdot 3^y + a_3 \cdot 3^z + a_4 \cdot 3^t + a_5 \cdot 3^u + a_6 \cdot 3^r + a_7 \cdot 3^s</math> ''Arătați că a1 + a2 + a3 + a4 + a5 + a6 + a7 = m2 + n2 , m,n...") Tag: Visual edit
12:39, 16 January 2025 ‎E:26460 (hist | edit) ‎[814 bytes] ‎Ionut (talk | contribs) (Created page with "'''Problema 26460 (Nicolae Mușuroia, Baia Mare)''' ''Să se arate că dacă a, b, c sunt numere reale strict pozitive cu <math>a + b + c = abc</math>, atunci <math>(1 + a^2)(1 + b^2)(1 + c^2) \geq 64</math>.'' '''Soluție.''' Relația <math>a + b + c = abc</math> se scrie <math>\frac{1}{bc} + \frac{1}{ca} + \frac{1}{ab} = 1</math>. Avem: <math> 1 + a^2 = a^2 \left( 1 + \frac{1}{a^2} \right) = a^2 \left( \frac{1}{bc} + \frac{1}{ca} + \frac{1}{ab} + \frac{1}{a^2} \righ...") Tag: Visual edit: Switched
07:38, 16 January 2025 ‎E:16610 (hist | edit) ‎[1,074 bytes] ‎Andrei.Horvat (talk | contribs) (Created page with "'''E:16610 (Cristina Vijdeluc, Salonic și Mihai Vijdeluc) ''' ''Aflați numerele naturale <math>\overline{abc}</math>, știind că <math>\overline{ab}</math> și <math>\overline{cb}</math> sunt numere prime și <math>\overline{ab}^2 + \overline{cb}^2 + b^2 = 2027</math>.'' '''Soluție''' Din relația dată deducem că <math>\overline{ab} \leq 43</math>, <math>\overline{cb} \leq 43</math>. În plus, cum acestea sunt numere prime de două cifre, trebuie să fie impare...")
08:00, 14 January 2025 ‎E:14313 (hist | edit) ‎[741 bytes] ‎Maria.Olivia.Pop (talk | contribs) (Created page with "'''E:14313 (Emil Florin Bizău și Ioan Bizău, Sighetu Marmației)''' ''Determinați numerele întregi <math>x</math>, <math>y</math> și <math>z</math> astfel încât: ''")
07:57, 14 January 2025 ‎E:14312 (hist | edit) ‎[1,407 bytes] ‎Maria.Olivia.Pop (talk | contribs) (Created page with "'''E:14312 (Iulian Bunu, Baia Mare)''' ''Andrei are o anumită sumă de bani și se pregătește pentru două evenimente: Tabăra de Matetică și aversarea Anei. '' '''Soluție (Ana Iulia Ciupală, Lic. Teoretic "Johannes Honterus", Brașov):''' ''Fie <math>a</math> suma pe care o are andrei. ''") Tag: Visual edit: Switched
10:38, 13 January 2025 ‎E:15346 (hist | edit) ‎[1,271 bytes] ‎Vasiliu Costel Andrei (talk | contribs) (Created page with "'''Soluție.''' a) <math>1^3 + 1^3 + 5^3 + 6^3 - 7^3 = 0</math>. b) Din punctul a) putem scrie <math>1^3 + 1^3 + 5^3 + 6^3 = 7^3</math> sau <math>\left(\frac{1}{7}\right)^3 + \left(\frac{1}{7}\right)^3 + \left(\frac{5}{7}\right)^3+\left(\frac{6}{7}\right)^3 = 1</math>. Acum <math>\left(\frac{1}{7}\right)^{2018}<\left(\frac{1}{7}\right)^3 , \left(\frac{5}{7}\right)^{2018}<\left(\frac{5}{7}\right)^3, \left(\frac{6}{7}\right)^{2018}<\left(\frac{6}{7}\right)^3</math>, de...")
17:55, 12 January 2025 ‎14311 (hist | edit) ‎[424 bytes] ‎Benzar Ioan (talk | contribs) (Created page with "''' 14311 (Neculai Stanciu) ''' '' Determinați cel mai mic număr natural de forma: <math> ab + cd + ef +gh </math>, unde <math> a, b, c, d, e, f, g, h </math> sunt numere naturale nenule, distincte două cate două.'' '''Solutie:''' Trebuie ca <math> a, b, c, d, e, f, g ,h \in {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} </math>. Cea mai mică sumă, deci cel mai mic număr, este <math> 1 * 8 + 2 * 7 + 3 * 6 + 4 * 5 = 60 </math>.") Tag: Visual edit: Switched
17:50, 12 January 2025 ‎14310 (hist | edit) ‎[1,408 bytes] ‎Benzar Ioan (talk | contribs) (Created page with "'''14310 (Traian Covaciu)''' ''Fie <math>n, n + 2, n + 6 </math> trei numere naturale și <math> S </math> suma lor.'' a) ''Dați exemplu de cel puțin trei valori pentru <math> n \in \mathbb{N}</math> astfel incat numerele <math> n, n + 2, n + 6 </math> sa fie simultan numere prime.'' b) ''Daca <math> n, n + 2, n + 6 </math> sunt simultan numere prime, aratati ca exista <math> k \in \mathbb{N} </math> astfel incat <math> S = 9k + 5</math>. '' c) ''Daca <math...") Tag: Visual edit: Switched
20:54, 11 January 2025 ‎E:15345 (hist | edit) ‎[1,115 bytes] ‎Tita Marian (talk | contribs) (Created page with "'''E:15345 (Călin Dănuț Hossu, Baia Mare)''' ''Determinați numerele ''<math>\overline{xyz}</math> '', scrise în baza <math>10</math>, știind că <math>x^{y+z} + x^y + x^z - 584 = 0</math>.'' '''Soluție''' Ecuația se scrie: <math> x^y \cdot x^z + x^y + x^z = 584</math>, sau <math>x^y \cdot x^z + x^y + x^z= 585.</math> De aici <math>x^y \cdot(x^z+1) + (x^z + 1) = 585</math> sau <math>(x^y + 1) \cdot (x^z + 1) = 585.</math> Deoarece <math>585</math> este numă...")
20:04, 11 January 2025 ‎E:15344 (hist | edit) ‎[1,627 bytes] ‎Tita Marian (talk | contribs) (Created page with "'''E:15344 (Teodora Zetea și Bogdan Zetea, Sighetu Marmației)''' ''Un număr se numește primial dacă este format din cifre prime, distincte.'' a) Câte numere primiale de trei cifre există? b) Arătați că suma tuturor numerelor primiale nu este un pătrat perfect. '''Soluție''' Cifrele prime sunt <math>2</math>, <math>3</math>, <math>5</math> și <math>7</math>. a) La un număr format din trei cifre diferite, cifrele sutelor se pot alege din <math>4</math>...")
19:50, 11 January 2025 ‎E:15343 (hist | edit) ‎[873 bytes] ‎Tita Marian (talk | contribs) (Created page with "'''E:15343 (Mihaela Berindeanu, București)''' ''Determinați numerele naturale a, b, c pentru care <math>3^a + 3^b + 3^c = 81 \cdot 2018</math>.'' '''Soluție''' Presupunem, fără a restrânge generalitatea problemei, că <math>a \leq b \leq c</math>. Ecuația devine <math>3^a \cdot (1 + 3^{b-a} + 3^{c-a}) = 3^{8072}.</math> Numărul <math>3^{8072}</math> se divide numai cu puteri ale lui 3. Dacă <math>b - a \neq 0</math> sau <math> c - a \neq 0 </math>, atunci...")
18:24, 11 January 2025 ‎E:15342 (hist | edit) ‎[374 bytes] ‎Tita Marian (talk | contribs) (Created page with "'''E:15342 (Marian Haiducu, Pitești)''' ''Determinați restul împărțirii numărului 1234567898999 la 8.'' '''Soluție''' Putem scrie: <math>1234567898999 = 1234567898 \cdot 1000 + 999 = 1234567898 \cdot 125 \cdot 8 + 124 \cdot 8 + 7 =</math> <math>= 8 \cdot (1234567898 \cdot 125 + 124) + 7.</math> Cum <math>7 < 8</math>, rezultă că restul împărțirii este 7.")
07:41, 9 January 2025 ‎E:15651 (hist | edit) ‎[1,052 bytes] ‎Andrei.Horvat (talk | contribs) (Created page with "''' E:15651 (Mihai Pălincaș, elev)''' ''Determinați soluțiile raționale ale ecuației <math>x^{2020} - x^2 - 3x = 0</math>.'' '''Soluție''' Ecuația se scrie <math>x\left(x^{2019} - x - 3 \right) = 0</math>, de unde <math>x=0</math> sau <math>x^{2019} - x - 3 = 0</math>. Vom demonstra arăta că ecuația <math>x^{2019} - x - 3 = 0</math> nu are soluții raționale. Presupunem că există o soluție rațională <math>\frac{p}{q}</math>, cu <math>p</math> și <ma...")
13:30, 8 January 2025 ‎14183 (hist | edit) ‎[1,704 bytes] ‎Andrei.Horvat (talk | contribs) (Created page with "'''14183 (Gheorghe Szőllőssy)''' ''Să se calculeze suma <math>S = \displaystyle \sum_{k=0}^n \left(k+1\right)^2C_n^k</math>.'' '''Soluție''' Pentru orice număr natural <math>p</math> considerăm <math>S(p,n) = \displaystyle \sum_{k=0}^n k^pC_n^k</math>. Pentru orice număr natural <math>n</math> au loc egalitățile <math>S(0,n) = \displaystyle \sum_{k=0}^n C_n^k = 2^n</math> <math>S(1,n) = \displaystyle \sum_{k=0}^n kC_n^k = n2^{n-1}</math> <math>S(2,n) = \dis...")
13:30, 8 January 2025 ‎Gazeta matematică 1974 (hist | edit) ‎[165 bytes] ‎Andrei.Horvat (talk | contribs) (Created page with "==Gazeta Matematică 5/1974== '''14183 (Gheorghe Szőllőssy)''' ''Să se calculeze suma <math>S = \displaystyle \sum_{k=0}^n \left(k+1\right)^2C_n^k</math>.''")
13:07, 7 January 2025 ‎Gazeta matematică 2023 (hist | edit) ‎[890 bytes] ‎Andrei.Horvat (talk | contribs) (Created page with "== Gazeta Matematică 12/2023 == '''Articol''' - Natalia Fărcaș, ''Tabăra Județeană de Excelență în Matematică'', Târgu Lăpuș, Maramureș, 26 august - 1 septembrie 2023")
07:55, 7 January 2025 ‎S:E20.56 (hist | edit) ‎[1,294 bytes] ‎Andrei.Horvat (talk | contribs) (Created page with "'''S:E20.56 (Cristina Vijdeluc, Mihai Vijdeluc)''' ''Se consideră triunghiul <math>ABC</math>, cu <math>AB=AC</math> și <math>\sphericalangle A = 36^\circ</math>. Punctul <math>D</math> aparține laturii <math>AC</math> astfel încât <math>BD</math> este bisectoarea unghiului <math>ABC</math>. Mediatorarea segmentului <math>AD</math> intersectează latura <math>AB</math> în <math>E</math>. Arătați că <math>DB</math> este bisectoare pentru unghiul <math>CDE</math>...")
10:03, 6 January 2025 ‎E:7042 (hist | edit) ‎[703 bytes] ‎Andrei.Horvat (talk | contribs) (Created page with "'''E:7042 (Mariș Ilieș)''' ''Fie <math>F = \frac{x^4 - 10x^3 + 35x^2 - 50x +24}{x^3 - 9x^2 + 26x - 24}</math>. Să se determine <math>x \in \mathbb{R}</math> pentru care <math>F</math> are sens și să se simpifice această fracție.'' '''Soluție.''' Avem <math>x^3 - 9x^2 + 26x - 24 = x^3 - 2x^2 - 7x^2 + 14x + 12x-24=\left(x-2\right)(x^2-7x+12\right) = \left(x-2\right)\left(x-3\right)\left(x-4\right)</math>. Deci, fracția <math>F</math> este bine definită pentru...")
09:57, 6 January 2025 ‎Gazeta matematică 1980 (hist | edit) ‎[276 bytes] ‎Andrei.Horvat (talk | contribs) (Created page with "== Gazeta Matematică 11/1980 == '''E:7042 (Mariș Ilieș)''' ''Fie <math>F = \frac{x^4 - 10x^3 + 35x^2 - 50x +24}{x^3 - 9x^2 + 26x - 24}</math>. Să se determine <math>x \in \mathbb{R}</math> pentru care <math>F</math> are sens și să se simpifice această fracție.''") Tag: Visual edit
04:08, 6 January 2025 ‎E:15682 (hist | edit) ‎[1,195 bytes] ‎Andrei.Horvat (talk | contribs) (Created page with "'''E:15682 (Cristina Vijdeliuc și Mihai Vijdeliuc)''' ''Determinați numerele naturale <math>x</math> și <math>y</math> pentru care <math>x\left(2x+1\right) = \frac{1010}{2y+1}</math>.'' '''Soluție''' Dacă <math>x</math> este număr natural, atunc și <math>x\left(2x+1\right)</math> este număr natural, deci <math>\frac{1010}{2y+1} \in \mathbb{N}</math>, ceea ce implică <math> 2y+1 \in \left\{1, 2, 5, 10, 101, 202, 505, 1010\right\} = D_{1010}</math>.") Tag: Visual edit
13:26, 5 January 2025 ‎E:7456 (hist | edit) ‎[1,948 bytes] ‎Andrei.Horvat (talk | contribs) (Created page with "'''E:7456 (Mirela-Petrina Timiș)''' ''Să se arate că fracția <math>F = \frac{23^{n+1}-4^{n+1}\cdot 19^n - 7^n \cdot 23 + 2^{2n+2}\cdot 3^n}{41^{n+1}-5^{2n}\cdot 41} </math> se simlifică prin <math>16</math>'' '''Soluție''' Pentru orice")
13:24, 5 January 2025 ‎Gazeta matematică 1981 (hist | edit) ‎[256 bytes] ‎Andrei.Horvat (talk | contribs) (Created page with "== Gazeta Matematică 12/1981 == '''E:7456 (Mirela-Petrina Timiș)''' ''Să se arate că fracția <math>\frac{23^{n+1}-4^{n+1}\cdot 19^n - 7^n \cdot 23 + 2^{2n+2}\cdot 3^n}{41^{n+1}-5^{2n}\cdot 41} </math> se simlifică prin <math>16</math>''")
09:33, 5 January 2025 ‎28405 (hist | edit) ‎[2,112 bytes] ‎Andrei.Horvat (talk | contribs) (Created page with "'''28405 (Dana Heuberger)''' ''Fie triunghiul <math>ABC</math> înscris în cercul de centru <math>O</math> și rază <math>r</math>. Notăm cu <math>D</math>, <math>E</math> și <math>F</math> mijloacele arcelor mici <math>BC</math>, <math>CA</math>, respectiv <math>AB</math> ale cercului, și cu <math>M</math>, <math>N</math>, <math>P</math> punctele de intersecție ale dreptelor <math>AF</math> și <math>CE</math>, <math>AF</math> și <math>BD</math>, respectiv <math...")
09:18, 3 January 2025 ‎28206 (hist | edit) ‎[5,060 bytes] ‎Andrei.Horvat (talk | contribs) (Created page with "'''28206 (Dana Heuberger)''' ''Fie <math>\left(G,\cdot\right)</math> un grup cu elementul neutru <math>e</math> care conține subgrupurile proprii, distincte, finite <math>H_1</math>, <math>H_2</math> și <math>H_3</math>, astfel încât pentru orice permutare <math>\sigma \in S_3</math> și orice <math>a \in H_{\sigma\left(1\right)} \setminus \left\{e\right\}</math>, <math>b \in H_{\sigma\left(2\right)} \setminus \left\{e\right\}</math>, rezutiă că <math>ab \in H_{\s...")
16:49, 2 January 2025 ‎15348 (hist | edit) ‎[964 bytes] ‎Zmicala Narcis (talk | contribs) (Created page with "'''15348 (Gheorghe Boroica, Baia Mare)''' ''Determinați valorile naturale ale numărului <math>a</math> pentru care există <math>x, y \in \mathbb{N}^*</math> astfel încât <math>x^3 + 2y^3 = a \cdot (2x^2y + xy^2)</math>.'' '''Soluție.''' Fie <math>d = (x, y)</math>. Atunci <math>x = dp</math> și <math>y = dq</math>, unde <math>p</math> și <math>q</math> sunt numere naturale prime între ele. Cu aceasta relația dată devine <math>p^3 + 2q^3 = a(2p^2q + pq^2)<...")
16:07, 2 January 2025 ‎15347 (hist | edit) ‎[839 bytes] ‎Zmicala Narcis (talk | contribs) (Created page with "'''E:15347 (Meda Bojor, Baia Mare)''' ''Determinați numerele prime p, q, r, s pentru care este adevărată relația p · q · r · s = 26(p + q + r + s).'' '''Soluție:''' Deoarece 26 | p · q · r · s și p, q, r, s sunt numere prime, deducem că unul dintre numere este 2, iar altul este 13. Fie p = 2 și q = 13. Atunci relația devine: r · s = r + s + 15, sau r · s - r - s = 16, pe care o putem scrie: (r - 1)(s - 1)...")
06:40, 30 December 2024 ‎14527 (hist | edit) ‎[1,686 bytes] ‎Larisa.Chiș (talk | contribs) (:))) Tag: Visual edit
16:07, 18 December 2024 ‎E:14763 (hist | edit) ‎[1,767 bytes] ‎Andrei.Horvat (talk | contribs) (Created page with "'''E:14763 (Cristina Vijdeluc și Mihai Vijdeluc)''' ''Determinați numerele prime <math>p</math> și <math>q</math>, cu <math>p > q</math>, știind că <math>p\left( 1+3pq\right) + q\left(1-3pq\right) = p^3 - q^3</math>.")
12:03, 16 December 2024 ‎S:P18.12 (hist | edit) ‎[1,021 bytes] ‎Andrei.Horvat (talk | contribs) (Created page with "'''S:P18.12 (Vasile Berinde)''' ''Reconstituiți înmulțirea <math>\overline{abc} \times 3 = \overline{bcc}</math>.''")
18:12, 13 December 2024 ‎15326 (hist | edit) ‎[490 bytes] ‎Bonte Lucas Gabriel (talk | contribs) (Created page with "'''15326 (Bonte Lucas)''' ''Determinați numerele naturale a,b,c pentru care este adevărată relația <math>\frac{37}{10}=a+\frac{1}{b+\frac{1}{c+\frac{1}{3}}}</math>.'' '''Soluție''' Avem egalitățile <math>\frac{37}{10}=3+\frac{7}{10}=3+\frac{1/10}{7}=3+\frac{1}{1+\frac{1}{7}}=3+\frac{1}{1+\frac{1}{2+\frac{1}{3}}}</math>. Din egalitățile precedente și din <math>3<\frac{37}{10}<4, 1<\frac{10}{7}<2, 2<\frac{7}{3} < 3</math>, deducem a = 3, b = 1 și c = 2.") Tag: Visual edit
10:18, 11 December 2024 ‎16402 (hist | edit) ‎[1,060 bytes] ‎AntalKrisztian (talk | contribs) (Created page with "'''16402 (Cristina Vijdeluc, Salonic și Mihai Vijdeluc, Baia Mare)''' ''Fie <math>n \in \mathbb{N}^*</math> și numerele pozitive <math>x_1, x_2, \dots, x_n</math> care verifică relația <math>\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} + \dots + \frac{1}{x_n} = \frac{n}{n+1}.</math> Arătați că <math>\frac{1}{x_1 + 2} + \frac{1}{x_2 + 6} + \dots + \frac{1}{x_n + n(n+1)} \leq \frac{n}{2(n+1)}.</math>'' '''Soluție:''' Din inegalitatea mediilor armonică și aritmetică,...")
10:08, 11 December 2024 ‎15324 (hist | edit) ‎[808 bytes] ‎Ghisa Catalin (talk | contribs) (Created page with "'''E:15324 (Cristina Vijdeluc și Mihai Vijdeluc)''' ''Determinați cifrele nenule <math>x</math> și <math>y</math> pentru care <math>\frac{y^3}{x^3} - \frac{xy}{x} = 2\left(\frac{xy}{x} - 16\right)</math>.'' '''Soluție.''' Avem: <math>\frac{y^3}{x^3} - 3\frac{y}{x} + 32 = 0</math> și, cum <math>\frac{xy}{x} = \frac{10x + y}{x} = 10 + \frac{y}{x}</math>, obținem: <math>\frac{y^3}{x^3} - 3\frac{y}{x} + 2 = 0</math>. Notăm <math>\frac{y}{x} = t > 0</math> și obț...")
10:01, 11 December 2024 ‎16393 (hist | edit) ‎[584 bytes] ‎AntalKrisztian (talk | contribs) (Created page with "'''16393 (Cristina Vijdeluc și Mihai Vijdeluc)''' ''Determinați numerele naturale nenule <math>n</math> pentru care numărul <math>a(n) = \sqrt{(1 \cdot 2 \cdot 3 \cdots n)^5 + 145}</math> este natural.'' '''Soluție:''' Calculând valorile lui <math>a(n)</math> pentru <math>n \in \{1, 2, 3, 4\},</math> găsim că doar pentru <math>n = 3,</math> <math>a(n) = 89</math> verifică cerința. Pentru <math>n \geq 5,</math> <math>(1 \cdot 2 \cdot 3 \cdots n)^5 + 145</ma...") Tag: Visual edit: Switched
09:57, 11 December 2024 ‎15323 (hist | edit) ‎[585 bytes] ‎Ghisa Catalin (talk | contribs) (Created page with "<nowiki>'''</nowiki>E:15323 (Cristina Vijdeluc și Mihai Vijdeluc)<nowiki>'''</nowiki>") Tag: Visual edit
12:25, 10 December 2024 ‎S:E15313 (hist | edit) ‎[699 bytes] ‎Cristina94 (talk | contribs) (Created page with "'''S:E15313 (Cristina Vijdeluc și Mihai Vijdeluc, Baia Mare)''' ''Determinați cifra <math>a</math> pentru care fracția <math>\frac{a^2 \cdot \overline{aa} + a^2(a^2+1)}{\overline{202a}}</math> este echiunitară.'' '''Soluție:''' ''Fracția este echiunitară dacă <math>a^2 \cdot \overline{aa} + a^2(a^2+1) = \overline{202a}</math> sau <math>a^4 + 11a^3 + a^2 = \overline{202a}</math>. Avem <math> 2020 \leq \overline{202a} \leq 2029 </math>. Dacă <math> a \leq 4 <...")
12:10, 10 December 2024 ‎S:E15310 (hist | edit) ‎[695 bytes] ‎Cristina94 (talk | contribs) (Created page with "'''S:E15310 (Cristina Vijdeluc și Mihai Vijdeluc, Baia Mare)''' ''Arătați că nu există numere naturale <math>p</math> și <math>q</math> astfel încât să fie adevărată relația <math>p^2 - 2018 = 2^q</math>.'' '''Soluție:''' ''Putem scrie <math>p^2 = 2^q + 2018</math>. Pentru <math>q = 0</math> obținem <math>p^2 = 2019</math>, iar pentru <math>q = 1</math> obținem <math>p^2 = 2020</math> care nu sunt pătrate de numere naturale. Pentru <math>q \geq 2</ma...")
04:43, 10 December 2024 ‎E:5756 (hist | edit) ‎[1,878 bytes] ‎Andrei.Horvat (talk | contribs) (Created page with "'''E:5756 (Dumitru Acu)''' ''Fie <math>ABCD</math> un romb. Prin vârful <math>A</math> ducem o dreaptă arbitrară care intersectează pe <math>BC</math> în <math>E</math>, pe <math>DC</math> în <math>F</math>, iar pe diagonala <math>BD</math> în <math>G</math>. Să se arate că dreapta <math>CG</math> este tangentă în <math>C</math> cercului circumscris triunghiului <math>ECF</math>.''")
04:31, 8 December 2024 ‎E:5743 (hist | edit) ‎[1,792 bytes] ‎Andrei.Horvat (talk | contribs) (Created page with "'''E:5743 (Grigore Balog)''' ''Fie <math>A</math> mulțimea numerelor de forma <math>\overline{7a8b}</math>, care se divid cu <math>15</math> și <math>B</math> mulțimea numerelor de forma <math>\overline{7x8y}</math>, care se divid cu <math>40</math>. Să se determine mulțimile <math>A \cup B</math>, <math>A\cap B</math> și <math>A\setmnus B</math>.''")
04:04, 8 December 2024 ‎E:5763 (hist | edit) ‎[1,377 bytes] ‎Andrei.Horvat (talk | contribs) (Created page with "'''E:5763 (Tudor Rițiu)''' ''Un lot în formă de trapez isoscel are, în metri, baza mică egală cu valoarea numerică a expresiei''<math display="block">E\left(x,y\right) = \frac{\left(x+y\right)^2 - x-y}{x^2-y^2}:\left[ 1 - \frac{1}{x+y}\right]</math>''pentru'' <math>x</math> ''a cărei valoare satisface proporția'' <math display="block">\frac{x-2,5}{1\frac{1}{2}} = \frac{x}{2}</math> ''iar'' <math>y</math> ''fiind a treia parte din'' <math>x</math>. '' Latura nep...")
03:55, 8 December 2024 ‎Gazeta matematică 1977 (hist | edit) ‎[1,488 bytes] ‎Andrei.Horvat (talk | contribs) (Created page with "== Gazeta Matematică 1/1977 == '''E:5763 (Tudor Rițiu)''' ''Un lot în formă de trapez isoscel are, în metri, baza mică egală cu valoarea numerică a expresiei''")
13:01, 5 December 2024 ‎S:E22.136 (hist | edit) ‎[1,234 bytes] ‎Andrei.Horvat (talk | contribs) (Created page with "'''S:E22.136 (Cristina Vijdeluc, Mihai Vijdeluc)''' '' Aflați numerele <math>n</math>, <math>p</math> natuarale neule pentru care <math>2n^2 = 253 \cdot \left(p! + 2022)</math>, unde <math>p! = 1\cdot 2\cdot 3\cdot \ldots\cdot p</math>.")
13:58, 3 December 2024 ‎S:E15.316 (hist | edit) ‎[571 bytes] ‎Hotico Iulia Denisa (talk | contribs) (Created page with "'''S:E15316 (Cristina Vijdeluc și Mihai Vijdeluc)''' ''Determinați numărul prim <math>p</math> și numărul natural <math>q</math> astfel încât'' ''<math display="block">p^{2} + 5^{p} + 31 = 3181^{q}</math>.'' '''Soluție:''' ''Putem scrie <math>p^{2} + 5^{p} = 3181^{q} - 31</math>. Cum ultima cifră a lui <math>3181^{q} - 31</math> este <math>0</math> și <math>5^{p}</math> este divizibil cu <math>5</math>, deducem că <math>p=5</math>. Atunci relația devine <...")
13:44, 3 December 2024 ‎S:E15.314 (hist | edit) ‎[587 bytes] ‎Hotico Iulia Denisa (talk | contribs) (Created page with "'''S:E15.314 (Cristina Vijdeluc și Mihai Vijdeluc)''' ''Determinați numerele naturale <math>m</math> și <math>n</math> pentru care este adevărată relația <math>2018^{m}=8^{n}+2010</math>.'' '''Soluție:''' ''Pentru <math>n=0</math> și <math>m=0</math> nu avem soluție. Pentru <math>n=1</math> obținem <math>m=1</math>. Dacă scriem relația sub forma <math>2018^{m}-2010=8^{n}</math>, atunci pentru <math>n>1</math> și <math>m>1</math> avem în dreapta un număr...")
08:37, 1 December 2024 ‎Gazeta matematică 2017 (hist | edit) ‎[553 bytes] ‎Andrei.Horvat (talk | contribs) (Created page with "== Gazeta Matematică 6-7-8/2017 == '''27401 (Radu Pop)''' ''Fie <math>n \in \mathbb{N}</math>. Să se arate că <math display="block"> (n+1)ab(a+b)-(4n^3+13n+10)ab+(n+2)^3(a+b) \geq (n+2)^3, </math> oricare ar fi <math>a,b \in [1,\infty)</math>''")