E:15343

E:15343 (Mihaela Berindeanu, București)

Determinați numerele naturale a, b, c pentru care $3^{a}+3^{b}+3^{c}=81\cdot 2018$.

Soluție

Presupunem, fără a restrânge generalitatea problemei, că $a\leq b\leq c$. Ecuația devine $3^{a}\cdot (1+3^{b-a}+3^{c-a})=3^{8072}.$ Numărul $3^{8072}$ se divide numai cu puteri ale lui 3. Dacă $b-a\neq 0$ sau $c-a\neq 0$, atunci $1+3^{b-a}+3^{c-a}$ este un număr care nu se divide cu 3, dar care divide $3^{8072}$, imposibil.

Deducem că $b-a=0$ și $c-a=0$, adică $a=b=c.$ Cu aceasta, ecuația devine $3^{a}\cdot 3=3^{8072}$ sau $3^{a+1}=3^{8072},$ de unde $a=8071$ și atunci $a=b=c=8071.$