14309

E:14309 (Alexandru Vele)

Determinați numerele naturale $a_{1},a_{2},a_{3},a_{4},a_{5},a_{6},a_{7}$ astfel încât să avem egalitatea

$$2012=a_{1}\cdot 3^{x}+a_{2}\cdot 3^{y}+a_{3}\cdot 3^{z}+a_{4}\cdot 3^{t}+a_{5}\cdot 3^{u}+a_{6}\cdot 3^{r}+a_{7}\cdot 3^{s}.$$

Arătați că

$$a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}+a_{5}+a_{6}+a_{7}=m^{2}+n^{2},m,n\in \mathrm {N}$$

Soluție.

Dacă $a_{1},a_{2},a_{3},a_{4},a_{5},a_{6},a_{7}$sunt mai mici decât $3$, atunci $a_{1}\cdot 3^{x}+a_{2}\cdot 3^{y}+a_{3}\cdot 3^{z}+a_{4}\cdot 3^{t}+a_{5}\cdot 3^{u}+a_{6}\cdot 3^{r}+a_{7}\cdot 3^{s}$ poate fi privită ca scrierea în baza $3$ a numărului $2012$. Cum

$$2012=2\cdot 3^{0}+1\cdot 3^{1}+1\cdot 3^{2}+2\cdot 3^{3}+0\cdot 3^{4}+2\cdot 3^{5}.+2\cdot 3^{6}$$

avem

$$a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}+a_{5}+a_{6}+a_{7}=2+1+1+2+0+2+2=10=1^{2}+3^{2}.$$

Dacă cel puțin unul dintre numerele $a_{1},a_{2},a_{3},a_{4},a_{5},a_{6},a_{7}$ este mai mare sau egal cu $3$, atunci problema nu mai rămâne adevărată; numărul $2012$ se poate scrie ca o suma de puteri ale lui $3$, dar suma $a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}+a_{5}+a_{6}+a_{7}$ nu se mai scrie, sigur, ca sumă de două pătrate.