E:15345

E:15345 (Călin Dănuț Hossu, Baia Mare)

Determinați numerele ${\overline {xyz}}$ , scrise în baza $10$, știind că $x^{y+z}+x^{y}+x^{z}-584=0$.

Soluție

Ecuația se scrie în mod echivalent

$$x^{y}\cdot x^{z}+x^{y}+x^{z}=584,$$

ceea ce conduce la

$$x^{y}\cdot x^{z}+x^{y}+x^{z}=585.$$

De aici avem $x^{y}\cdot (x^{z}+1)+(x^{z}+1)=585$, de unde rezultă

$$(x^{y}+1)\cdot (x^{z}+1)=585.$$

Deoarece $585$ este număr impar deducem că cele două paranteze sunt numere impare; mai mult $x$ este număr par.

Cum $585=3\cdot 195=5\cdot 117=9\cdot 65=13\cdot 45=15\cdot 39$ putem avea $x^{y}+1=3$ și $x^{z}+1=195;x^{y}+1=5$ și $x^{z}+1=117;x^{y}+1=9$ și $x^{z}+1=65;x^{y}+1=13$ și $x^{z}+1=45;x^{y}+1=15$ și $x^{z}+1=39$, sau invers.

Soluții naturale obținem numai pentru $x^{y}+1=9$ sau $x^{y}+1=65$.

Găsim $x=2,y=3,z=6$, sau $x=2,y=6,z=3$.

În concluzie, am obținut ${\overline {xyz}}=236$, respectiv ${\overline {xyz}}=263$.