S:E15313

E:15313 (Cristina Vijdeluc și Mihai Vijdeluc)

Determinați cifra $a$ pentru care fracția ${\frac {a^{2}\cdot {\overline {aa}}+a^{2}(a^{2}+1)}{\overline {202a}}}$ este echiunitară.

Soluție:

Fracția este echiunitară dacă $a^{2}\cdot {\overline {aa}}+a^{2}(a^{2}+1)={\overline {202a}}$ sau $a^{4}+11a^{3}+a^{2}={\overline {202a}}$. Avem $2020\leq {\overline {202a}}\leq 2029$.

Dacă $a\leq 4$, atunci $a^{4}+11a^{3}+a^{2}\leq 976<2020$, iar dacă $a\geq 6$, atunci $a^{4}+11a^{3}+a^{2}\geq 3708>2029$.

Pentru $a=5$, avem $5^{4}+11\cdot 5^{3}+5^{2}=2025$.