16393

16393 (Cristina Vijdeluc și Mihai Vijdeluc)

Determinați numerele naturale nenule $n$ pentru care numărul $a(n)={\sqrt {(1\cdot 2\cdot 3\cdots n)^{5}+145}}$ este natural.

Soluție:

Calculând valorile lui $a(n)$ pentru $n\in \{1,2,3,4\},$ găsim că doar pentru $n=3,$ $a(n)=89$ verifică cerința.

Pentru $n\geq 5,$ $(1\cdot 2\cdot 3\cdots n)^{5}+145$ este divizibil cu $5,$ dar nu este divizibil cu $25,$ deci nu este pătrat perfect.