S:E20.56

S:E20.56 (Cristina Vijdeluc, Mihai Vijdeluc)

Se consideră triunghiul $ABC$, cu $AB=AC$ și $\sphericalangle A=36^{\circ }$. Punctul $D$ aparține laturii $AC$ astfel încât $BD$ este bisectoarea unghiului $ABC$. Mediatorarea segmentului $AD$ intersectează latura $AB$ în $E$. Arătați că $DB$ este bisectoare pentru unghiul $CDE$.

Soluție

Cum $\sphericalangle A=36^{\circ }$ și triunghiul $ABC$ este isoscel, se obține că $\sphericalangle B=\sphericalangle C=72^{\circ }$. Atunci $\sphericalangle ABD=\sphericalangle DBC=36^{\circ }$, deci $\sphericalangle BDC=72^{\circ }$.

Cum $ME$ este mediatoarea segmentului $AD$, rezultă că $AED$ este un triunghi isoscel, cu $\sphericalangle A=\sphericalangle D=36^{\circ }$, deci $\sphericalangle ADE=36^{\circ }$. Atunci $\sphericalangle EDB=72^{\circ }$.

În concluzie, $\sphericalangle BDC=\sphericalangle EDB=72^{\circ }$, ceea ce impică faptul că $DB$ este bisectoare pentru unghiul $CDE$.