28405

28405 (Dana Heuberger)

Fie triunghiul $ABC$ înscris în cercul de centru $O$ și rază $r$. Notăm cu $D$, $E$ și $F$ mijloacele arcelor mici $BC$, $CA$, respectiv $AB$ ale cercului, și cu $M$, $N$, $P$ punctele de intersecție ale dreptelor $AF$ și $CE$, $AF$ și $BD$, respectiv $BD$ și $CE$. Dacă ${\vec {MA}}+{\vec {NB}}+{\vec {PC}}={\vec {0}}$ și ${\vec {ME}}+{\vec {NF}}+{\vec {PD}}={\vec {0}},$ arătați că triunghiul $ABC$ este echilateral.

Soluție Scăzând relațiile din ipoteză obținem: $({\vec {ME}}-{\vec {MA}})+({\vec {NF}}-{\vec {NB}})+({\vec {PD}}-{\vec {PC}})={\vec {0}},$ adică ${\vec {AB}}+{\vec {BF}}+{\vec {CD}}={\vec {0}}.$ Deducem că ${\vec {OA}}+{\vec {OB}}+{\vec {OC}}={\vec {OD}}+{\vec {OE}}+{\vec {OF}},$ de unde, folosind relația lui Sylvester, reiese că ortocentrul $H$ al triunghiului $ABC$ este și ortocentrul triunghiului $DEF$, relație notată cu (1).

Cum $D$, $E$, $F$ sunt mijloacele arcelor $BC$, $CA$, respectiv $AB$, rezultă că drepturile $AD$, $BE$ și $CF$ sunt bisectoarele unghiurilor triunghiului $ABC$. În plus: $\measuredangle (AD,EF)={\frac {1}{2}}(m(AE)+m(DF))={\frac {1}{2}}(m(AE)+m(DB)+m(BF))={\frac {1}{4}}(m(AC)+m(CB)+m(BA))=90^{\circ },$ deci $DA\perp EF$. Analog, obținem $EB\perp DE$ și $FC\perp DE$.

Ca urmare, ortocentrul triunghiului $DEF$ este intersecția dreptelor $DA$, $EB$ și $FC$, adică intersecția bisectoarelor triunghiului $ABC$.

Ținând cont de (1), deducem că, în triunghiul $ABC$, ortocentrul și centrul cercului înscris coincid, deci $ABC$ este triunghi echilateral.