14527

E:14527 (Cristina Vijdeluc şi Mihai Vijdeluc)

Pentru orice număr natural nenul $n$ , notăm $n!=1\cdot 2\cdot 3\cdot \ldots \cdot n$ și $0!=1$.

a) Arătați că $\left(n+1\right)\cdot {\bigl (}n+1{\bigr )}!-n\cdot n!=\left(n^{2}+n+1\right)\cdot n!$

b) Dacă $A=\left(60^{2}+60+1\right)\cdot 60!+\left(59^{2}+59+1\right)\cdot 59!+\ldots +\left(1^{2}+1+1\right)\cdot 1!+(0^{2}+0+1)\cdot 0!$, atunci $A$ se divide cu $2013^{2}$.

Soluție

a) Începem cu partea stângă a egalității $\left(n+1\right)\cdot \left(n+1\right)!-n\cdot n!$

Avem $(n+1)!=(n+1)\cdot n!$, deci $(n+1)\cdot (n+1)!=(n+1)^{2}\cdot n!$. Atunci, membrul din partea stângă a egalității devine $\left(n+1\right)^{2}\cdot n!-n\cdot n!=n!\cdot \left(n^{2}+2n+1-n\right)=\left(n^{2}+n+1\right)\cdot n!$.

b) Folosind egalitatea de la a), se obține

$${\begin{aligned}A&=\left(60^{2}+60+1\right)\cdot 60!+\left(59^{2}+59+1\right)\cdot 59!+\ldots +\left(1^{2}+1+1\right)\cdot 1!+(0^{2}+0+1)\cdot 0!\\&=61!\cdot 61-60!\cdot 60+60!\cdot 60-59!\cdot 59+\ldots +2!\cdot 2-1!\cdot 1+1!\cdot 1-0!\cdot 0\\&=61!\cdot 61\end{aligned}}$$

Pe de altă parte, avem $2013^{2}=3^{2}\cdot 11^{2}\cdot 61^{2}$.

Cum produsul $A=61!\cdot 61$ conține ca factori pe $3^{2}$, pe $11^{2}$, respectiv pe $61^{2}$, se deduce că $A$ se divide cu $2013^{2}$.