E:15651

E:15651 (Mihai Pălincaș, elev)

Determinați soluțiile raționale ale ecuației $x^{2020}-x^{2}-3x=0$.

Soluție

Ecuația se scrie $x\left(x^{2019}-x-3\right)=0$, de unde $x=0$ sau $x^{2019}-x-3=0$.

Vom demonstra arăta că ecuația $x^{2019}-x-3=0$ nu are soluții raționale. Presupunem că există o soluție rațională ${\frac {p}{q}}$, cu $p$ și $q$ numere întregi, prime între ele. Atunci ${\frac {p^{2019}}{q^{2019}}}-{\frac {p}{q}}-3=0$, ceea ce revine la $p^{2019}-p\cdot q^{2018}-3\cdot q^{2019}=0$. Cum $q|p\cdot q^{2018}$ și $q|3\cdot q^{2019}$, rezultă că $q|p^{2019}$, ceea ce este în contradicție cu $\left(p,q\right)=1$. Deci, ecuația $x^{2019}-x-3=0$ nu are soluții raționale.

În concluzie, singura soluție rațională a ecuației $x^{2020}-x^{2}-3x=0$ este $x=0$.