E:7456

E:7456 (Mirela-Petrina Timiș)

Să se arate că fracția $F={\frac {23^{n+1}-4^{n+1}\cdot 19^{n}-7^{n}\cdot 23+2^{2n+2}\cdot 3^{n}}{41^{n+1}-5^{2n}\cdot 41}}$ se simlifică prin $16$.

Soluție

Pentru orice $n\in \mathbb {N} ^{\ast }$ avem $F={\frac {23\left(23^{n}-7^{n}\right)-4^{n+1}\cdot \left(19^{n}-3^{n}\right)}{41\left(41^{n}-25^{n}\right)}}$.

Pentru orice numere reale $a,b\in \mathbb {R}$ și $n\in \mathbb {N} ^{\ast }$, are loc egalitatea $a^{n}-b^{n}=\left(a-b\right)\cdot \left(a^{n-1}+a^{n-2}b+a^{n-3}b^{2}+\ldots +a^{2}b^{n-3}+ab^{n-2}+b^{n-1}\right)$, deci

oricare ar fi numerele naturale $a,b\in \mathbb {N}$, cu $a>b$, și oricare ar fi $n\in \mathbb {N} ^{\ast }$, există $M\in \mathbb {N}$ astfel încât $a^{n}-b^{n}=M\cdot \left(a-b\right)$.

Atunci există numerele naturale $M_{1},M_{2},M_{3}\in \mathbb {N}$ pentru care $23^{n}-7^{n}=16\cdot M_{1}$, $19^{n}-3^{n}=16\cdot M_{2}$, respectiv $41^{n}-25^{n}=16\cdot M_{3}$.

Deci, pentru orice $n\in \mathbb {N} ^{\ast }$ avem $F={\frac {16\cdot \left(23\cdot M_{1}-4^{n+1}\cdot M_{2}\right)}{41\cdot 16\cdot M_{3}}}$, de unde se poate deduce că fracția $F$ se poate simplifca prin $16$.

Observație

Pentru $n=0$ fracția $F$ nu este bine definită!

Dacă folosim notația $F_{n}={\frac {23^{n+1}-4^{n+1}\cdot 19^{n}-7^{n}\cdot 23+2^{2n+2}\cdot 3^{n}}{41^{n+1}-5^{2n}\cdot 41}}$ oricare ar fi $n\in \mathbb {N} ^{\ast }$, atunci, după simplificarea cu $16$, se obține

$$F_{n}={\frac {23\cdot {\displaystyle \sum _{k=0}^{n-1}23^{n-1-k}17^{k}}-4^{n+1}\cdot {\displaystyle \sum _{k=0}^{n-1}19^{n-1-k}3^{k}}}{41\cdot {\displaystyle \sum _{k=0}^{n-1}41^{n-1-k}25^{k}}}}$$