E:15324 (Cristina Vijdeluc și Mihai Vijdeluc)
Determinați cifrele nenule x {\displaystyle x} și y {\displaystyle y} pentru care y 3 x 3 − x y ¯ x = 2 ( x y ¯ x − 16 ) {\displaystyle {\frac {y^{3}}{x^{3}}}-{\frac {\overline {xy}}{x}}=2\left({\frac {\overline {xy}}{x}}-16\right)} .
Soluție. Avem:
y 3 x 3 − 3 y x + 32 = 0 {\displaystyle {\frac {y^{3}}{x^{3}}}-3{\frac {y}{x}}+32=0} și, cum x y ¯ x = 10 x + y x = 10 + y x {\displaystyle {\frac {\overline {xy}}{x}}={\frac {10x+y}{x}}=10+{\frac {y}{x}}} , obținem:
y 3 x 3 − 3 y x + 2 = 0 {\displaystyle {\frac {y^{3}}{x^{3}}}-3{\frac {y}{x}}+2=0} . Notăm y x = t > 0 {\displaystyle {\frac {y}{x}}=t>0} și obținem ecuația t 3 − 3 t + 2 = 0 {\displaystyle t^{3}-3t+2=0} cu soluțiile:
t = 1 {\displaystyle t=1} și t = − 2 {\displaystyle t=-2} . Din y x = 1 {\displaystyle {\frac {y}{x}}=1} obținem x = y {\displaystyle x=y} , de unde perechile de cifre posibile sunt:
( 1 , 1 ) , ( 2 , 2 ) , ( 3 , 3 ) , ( 4 , 4 ) , ( 5 , 5 ) , ( 6 , 6 ) , ( 7 , 7 ) , ( 8 , 8 ) {\displaystyle (1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6),(7,7),(8,8)} sau ( 9 , 9 ) {\displaystyle (9,9)} .
și 
pentru care 
.
și, cum 
, obținem:
. Notăm 
și obținem ecuația 
cu soluțiile:
și 
. Din 
obținem 
, de unde perechile de cifre posibile sunt:
sau 
.
