E:15760

E:15760 (Cristina și Mihai Vijdeluc)

Aflați numerele ${\overline {abcd}}$ și $n$ pentru care ${\overline {abcd}}+a+b+c+d=n!$.

Soluție.

Cum $1001\leq {\overline {abcd}}+a+b+c+d\leq 10035$, avem $1001\leq n!\leq 10035$, de unde rezultă $n=7$, cu $n!=7!=5040$.

Deoarece $1\leq a+b+c+d\leq 36$, rezultă $5004\leq {\overline {abcd}}\leq 5039$, ceea ce implică $a=5$.

Din ${\overline {5bcd}}+5+b+c+d=5040$ se obține ${\overline {bcd}}+b+c+d=35$, ceea ce implică $b=0$ și ${\overline {cd}}+c+d=35$.

Din egalitatea ${\overline {cd}}+c+d=11c+2d=35$ se deduce că $c$ este un număr impar cel mult egal cu $3$, deci $c\in \left\{1,3\right\}$. Pentru $d\leq 9$ se obține $11c\geq 35-2\cdot 9=17$, deci $c\geq 2$. Atunci $c=3$.

Din egalitatea $33+2d=35$ se obține $d=1$.

În concluzie, avem $n=7$ și ${\overline {abcd}}=5031$.