E:15682

E:15682 (Cristina Vijdeliuc și Mihai Vijdeliuc)

Determinați numerele naturale $x$ și $y$ pentru care $x\left(2x+1\right)={\frac {1010}{2y+1}}$.

Soluție

Dacă $x$ este număr natural, atunc și $x\left(2x+1\right)$ este număr natural, deci ${\frac {1010}{2y+1}}\in \mathbb {N}$, ceea ce implică $2y+1\in \left\{1,2,5,10,101,202,505,1010\right\}=D_{1010}$. Cum $2y+1$ este număr impar, vom considera doar $2y+1\in \left\{1,5,101,505\right\}$.

Pentru $2y+1=1$, se obține $x\left(2x+1\right)=1010=2\cdot 505=10\cdot 101$, ecuație ce nu are soluții în mulțimea numerelor naturale.

Pentru $2y+1=5$, se obține $x\left(2x+1\right)=202=2\cdot 101$, ecuație ce nu are soluții în mulțimea numerelor naturale.

Pentru $2y+1=101$, se obține $x\left(2x+1\right)=10=2\cdot 5$. Rezultă soluția $(x,y)=(2,50)$.

Pentru $2y+1=505$, se obține $x\left(2x+1\right)=2$, ecuație ce nu are soluții în mulțimea numerelor naturale.