E:7042 (Mariș Ilieș)
Fie F = x 4 − 10 x 3 + 35 x 2 − 50 x + 24 x 3 − 9 x 2 + 26 x − 24 {\displaystyle F={\frac {x^{4}-10x^{3}+35x^{2}-50x+24}{x^{3}-9x^{2}+26x-24}}} . Să se determine x ∈ R {\displaystyle x\in \mathbb {R} } pentru care F {\displaystyle F} are sens și să se simpifice această fracție.
Soluție.
Avem x 3 − 9 x 2 + 26 x − 24 = x 3 − 2 x 2 − 7 x 2 + 14 x + 12 x − 24 = ( x − 2 ) ( x 2 − 7 x + 12 ) = ( x − 2 ) ( x − 3 ) ( x − 4 ) {\displaystyle x^{3}-9x^{2}+26x-24=x^{3}-2x^{2}-7x^{2}+14x+12x-24=\left(x-2\right)\left(x^{2}-7x+12\right)=\left(x-2\right)\left(x-3\right)\left(x-4\right)} . Deci, fracția F {\displaystyle F} este bine definită pentru orice x ∈ R ∖ { 2 , 3 , 4 } {\displaystyle x\in \mathbb {R} \setminus \{2,3,4\}} .
Avem x 4 − 10 x 3 + 35 x 2 − 50 x + 24 = x 4 − x 3 − 9 x 3 + 9 x 2 + 26 x 2 − 26 x − 24 x + 24 = ( x − 1 ) ( x 3 − 9 x 2 + 26 x − 24 ) {\displaystyle x^{4}-10x^{3}+35x^{2}-50x+24=x^{4}-x^{3}-9x^{3}+9x^{2}+26x^{2}-26x-24x+24=(x-1)\left(x^{3}-9x^{2}+26x-24\right)} . Rezultă F = x − 1 {\displaystyle F=x-1} .
