14310

E:14310 (Traian Covaciu)

Fie $n,n+2,n+6$ trei numere naturale și $S$ suma lor.

a) Dați exemplu de cel puțin trei valori pentru $n\in \mathbb {N}$ astfel încât numerele $n,n+2,n+6$ să fie simultan numere prime.

b) Dacă $n,n+2,n+6$ sunt simultan numere prime, arătați că există $k\in \mathbb {N}$ astfel încât $S=9k+5$.

c) Dacă $n,n+2,n+6$ sunt numere prime, determinați restul împărțirii numărului $S$ la $18$.

Soluție:

a) Pentru $n=5$ numerele sunt $5,7,11$. Pentru $n=11$ avem $11,13,17$, iar pentru $n=17$ obținem $17,19,23$.

b) Se știe că numerele prime au forma $6p+1$ sau $6p+5$. Dacă $n=6p+1$, atunci $n+2=6p+3$ care nu este numar prim. Așadar, $n=6p+5$. În această situație avem $S=6p+5+6p+7+6p+11=18p+23=9(2p+2)+5$. În concluzie, există $k=2p+2$ astfel încât $S=9k+5$.

c) Din punctul b) avem $S=18(p+1)+5$, deci restul împărțirii lui $S$ la $18$ este $5$.