All public logs

Combined display of all available logs of Bitnami MediaWiki. You can narrow down the view by selecting a log type, the username (case-sensitive), or the affected page (also case-sensitive).

13:32, 20 September 2025 Andrei.Horvat talk contribs created page E:16892 (Created page with "'''E:16892 (Nicolae Mușuroia)''' ''Aflați suma divizorilor pari ai celui mai mare număr natural <math>a</math>, cu <math>a<1000</math>, pentru care suma divizorilor impari este egală cu <math>24</math>.'' '''Soluție''' Căutăm numere de trei cifre, de forma <math>2^m \cdot b</math>, cu <math>m\in \mathbb{N}^\ast</math> și <math>b</math>, unde suma divizorilor numărului natural impar <math>b</math> este egală cu <math>24</math>. Avem două posibilități...")
13:12, 20 September 2025 Andrei.Horvat talk contribs created page E:16893 (Created page with "'''E:16893 (Traian Covaciu)''' ''Arătați că numerele <math>7n-1</math> și <math>17n-1</math> sunt simultan prime doar dacă <math>n</math> este un multiplu natural al lui <math>6</math>.'' '''Soluție''' Pentru <math>n=6</math> se obțin numerele prime <math>42</math> și <math>101</math>. Dacă <math>n</math> este impar, atunci numerele <math>7n-1</math> și <math>17n-1</math> sunt pare, deci nu pot fi prime, ceea ce implică faptul că <math>2 |\, n</math>....")
12:58, 20 September 2025 Andrei.Horvat talk contribs created page E:16891 (Created page with "'''E:16891 (Sever Pop)''' ''Determinați numerele prime <math>p</math>, <math>q</math>, <math>r</math>, distincte două câte două, pentru care are loc egalitatea <math>3p^4 - 5q^4 - 4r^2 = 26</math>.'' '''Soluție''' ''Deoarece <math>3p^4 - 5q^4=2\left(13+2r^2\right)</math> este număr par, deducem că numerele prime <math>p</math> și <math>q</math> au aceeași paritate, deci sunt impare. Cum <math>3p^4 - 5q^4>26>0</math>, avem <math>3p^3>5q^4</math>, deci <ma...")
05:42, 20 September 2025 Andrei.Horvat talk contribs created page E:16889 (Created page with "'''E:16889 (Călin Hossu)''' ''Prin împărțirea unui număr de patru cifre la răsturnatul său, se obține câtul <math>2</math> și restul <math>1977</math>. Aflați numărul, știind că diferența dintre cifra miilor și cifra unităților este <math>5</math>, iar cifra sutelor este cu <math>4</math> mai mare decât cifra zecilor.'' '''Soluție'''")
05:36, 20 September 2025 Andrei.Horvat talk contribs created page E:16890 (Created page with "'''E:16890 (Bogdan Zetea, Călin Hossu)''' ''Demonstrați că, pentru orice număr natural nenul <math>n</math>, numărul <math>2024^n+n^{2024} + 2</math> nu este un pătrat perfect.'' '''Soluție''' Fie <math>N = 2024^n+n^{2024} + 2</math>. Dacă <math>n</math> este un număr par, atunci există numerele naturale nenule <math>t</math> și <math>u</math> pentru care <math>n^{2024} = 4t</math> și <math>2024^n = 4u</math>. Atunci <math>N = 4t+4u+2 <math>, deci exi...")
19:32, 19 September 2025 Andrei.Horvat talk contribs created page E:16888 (Created page with "'''E:16888 (Gheorghe Boroica)''' ''Considerăm <math>n<math> un număr natural nenul. Demonstrați că numărul <math>N = \underbrace{44\ldots4}_{n \text{ cifre}}\underbrace{22\ldots2}_{n \text{ cifre}} </math> poate fi scris ca produsul a două numere naturale consecutive.'' ''''Soluție''' Dacă <math>a=\underbrace{11\ldots1}_{n \text{ cifre}}</math>, atunci <math>9\cdot a+1=10^n</math> și <math display="block">N= 4\cdot a \cdot 10^n + 2 \cdot a = 2\cdot a \...")
19:29, 19 September 2025 Andrei.Horvat talk contribs created page E:16887 (Created page with "'''E:16887 (Gheorghe Boroica)''' ''Suma a <math>90</math> de numere naturale este <math>2069</math>. Arătați că există, printre acestea, cel puțin trei numere egale.'' '''Soluție''' Fie <math>S</math> suma celor <math>90</math> de numere. Presupunem contrariul, deci printre cele <math>90</math> de numere, cel mult două numere pot fi egale. Atunci <math display="block"> S \ge \left(1+1\right) + \left(2+2\right) + \left(3+3\right)+\ldots +\left(45+45\right...")
16:57, 19 September 2025 Andrei.Horvat talk contribs created page P:1800 (Created page with "'''P:1800 (Ioan Ovidiu Pop, Coroieni)''' ''Aflați numărul de telefon <math>\overline{07abcdefgh}</math>, format din zece cifre, nu neapărat distincte, pentru care numerele <math>a+c</math>, <math>b+c</math>, <math>d+e</math>, <math>c+d</math>, <math>a+b+e</math>, <math>c+d+f</math>, <math>b+c+g</math> și <math>d+e+h</math> sunt opt numere consecutive așezate în ordine crescătoare.'' '''Soluție''' Cele opt numere consecutive așezate în ordine crescătoare...")
17:50, 17 September 2025 Andrei.Horvat talk contribs created page 23964 (Created page with "'''23964 (Marin Bancoș)''' ''Să de demonstreze inegalitatea <math display="block"> \sum_{i=2}^{n} \sqrt[i]{\left(i!\right)^2} < \frac{2n^3+9n^2+13n-24}{24} .</math>'' '''Soluție''' Pentru orice număr natural <math>n</math>, cu <math> n\ge 2</math> are loc inegalitatea <math display="block"> \sqrt[n]{n!} = \sqrt[n]{1\cdot 2\cdot \ldots \cdot n} < \frac{1+2+\ldots+n}{n} = \frac{n+1}{2}.</math> Atunci <math display="block"> \sum_{i=2}^{n} \sqrt[i]{\left(I!\right)...")
17:48, 17 September 2025 Andrei.Horvat talk contribs created page Gazeta matematică 1998 (Created page with "== Gazeta Matematică 9/1998 ==") Tag: Visual edit
03:35, 16 September 2025 Andrei.Horvat talk contribs created page P:1799 (Created page with "'''P:1799 (Nicolae Mușuroia)''' ''La un test Ana rezolvă <math>5</math> probleme și <math>3</math> exerciții și obține <math>75</math> de puncte. La același test, Dan a obținut <math>75</math> de puncte pentru rezolvarea a <math>4</math> probleme și <math>5</math> exerciții. Se știe că punctajul maxim care poate fi obținut este <math>100</math> de puncte, dintre care <math>10</math> puncte sunt acordate din oficiu. Aflați câte puncte valorează o prob...") Tag: Visual edit
13:32, 14 September 2025 Andrei.Horvat talk contribs created page File:Site fig p1798b conv 1.png
13:32, 14 September 2025 Andrei.Horvat talk contribs uploaded File:Site fig p1798b conv 1.png
13:31, 14 September 2025 Andrei.Horvat talk contribs created page File:Site fig p1798a conv 1.png
13:31, 14 September 2025 Andrei.Horvat talk contribs uploaded File:Site fig p1798a conv 1.png
13:28, 14 September 2025 Andrei.Horvat talk contribs created page P:1798 (Created page with "'''P:1798 (Andreea Budea)''' ''De ziua ei, Miruna are cinci invitați pentru care a pregătit un coșuleț în care a pus de trei ori mai multe bomboane decât acadele. Fiecare invitat a luat din coșuleț câte o bomboană și câte o acadea. Astfel, în coșuleț au rămas de patru ori mai puține acadele decât bomboane. Aflați câte bomboane și câte acadele au fost la început în coșulețul pregătit de Miruna.'' '''Soluția aritmetică''' Dacă reprezent...") Tag: Visual edit
03:17, 14 September 2025 Andrei.Horvat talk contribs created page P:1795 (Created page with "'''P:1795 (Gheorghe Boroica)''' ''Numărul <math>42</math> se scrie ca și produsul a <math>2025</math> numere naturale. Determinați suma minimă a tuturor factorilor acestui produs.'' '''Soluție ''' Sunt posibile următoarele scrieri ale numărului <math>42</math> ca și produs de <math>2025</math> de factori: <math display="block">42 = 2 \cdot 3 \cdot 7 \cdot \stackrel{1\cdot 1 \cdot \ldots \cdot 1}{2022}</math> <math display="block">42 = 6 \cdot 7 \cdot \stackr...")
03:10, 14 September 2025 Andrei.Horvat talk contribs created page P:1796 (Created page with "'''P:1796 (Mariana Pop, Târgu Lăpuș)''' ''Un grup de elevi pornește în drumeție din orașul Târgu Lăpuș și ajunge după cinci ore pe Vârful Țibleș. Distanța de <math>42</math> de kilometri a fost parcursă de grupul de elevi cu bicicletele, mergând cu o viteză de <math>10</math> km/h, iar pe jos cu o viteză de <math>2</math> km/h. Aflați câți kilometri au fost parcurși cu bicicletele și câți kilometri au fost parcurși pe jos.'' ''<math><m...") Tag: Visual edit
02:57, 14 September 2025 Andrei.Horvat talk contribs created page File:Site fig p1797.png
02:57, 14 September 2025 Andrei.Horvat talk contribs uploaded File:Site fig p1797.png
02:56, 14 September 2025 Andrei.Horvat talk contribs created page P:1797 (Created page with "'''P:1797 (Simona Cosma)''' ''Pentru cei <math>24</math> de elevi ai unei clase se confecționează ținuta școlară, constând din sarafan pentru fete și veste pentru băieți. Pentru <math>8</math> sarafane și <math>4</math> veste sunt necesari <math>20</math>m de stofă, iar pentru <math>10</math> sarafane și <math>12</math> veste sunt necesari <math>32</math>m de stofă. Aflați câți metri de stofă sunt necesari pentru confecționarea ținutei școlare pentru...")
17:25, 20 August 2025 Andrei.Horvat talk contribs created page E:16910 (Created page with "'''E:16910 (Teodora Zetea & Bogdan Zetea)''' ''Aflați soluțiile întregi ale ecuației <math>x^4 + 4y^4 = 3796.</math>'' '''Soluție''' Cum <math>x^4 + 4y^4 = \left(x^2+2y^2\right)^2 - 4x^2y^2 = \left(x^2+2y^2-2xy\right)\left(x^2 + 2y^2 +2xy\right)</math>, ecuația dată revine la <math>\left(x^2+2y^2-2xy\right)\left(x^2 + 2y^2 +2xy\right) = 3796</math> Din <math>2y^2-2xy\, \vdots \, 2</math> și <math>2y^2+2xy\, \vdots \, 2</math> se deduce că expresiile pozi...")
15:30, 20 August 2025 Andrei.Horvat talk contribs created page E:16901 (Created page with "'''E:16901 (Călin Hossu)''' ''Determinați numărul natural pentru care are loc egalitatea <math>x\sqrt{x} + x^2 = 30758</math>.'' '''Soluție''' Dacă <math>\sqrt{x}=a</math>, atunci ecuația devine <math display="block">a^2\cdot a + \left(a^2\right)^2=30758,</math>ceea ce este echivalent cu <math display="block">a^3\left(a+1\right) = 30758 = 13^3\cdot 14.</math>Deci <math> a= 13</math>, cea ce implică <math>x=169</math>.") Tag: Visual edit
15:17, 20 August 2025 Andrei.Horvat talk contribs created page E:16902 (Created page with "'''E:16902 (Melania-Iulia Dobrican)''' ''Fie numerele reale pozitive <math>x</math>, <math>y</math>, cu <math>xy=4</math>. Arătaţi că <math>\frac{1}{x+4} + \frac{1}{y+4} \le \frac{1}{3}.</math> '' '''Soluție''' Avem echivalenţele <math>\frac{1}{x+4} + \frac{1}{y+4} \le \frac{1}{3} \Leftrightarrow 3y+12+3x+12 \le xy+4x+4y+16 \Leftrightarrow x+y\ge 8-xy./<math> Cum <math>xy=4</math>, rezultă <math>x+y \ge 4</math>. Au loc echivalenţele <math>x+y \ge 4 \Leftri...")
16:20, 19 August 2025 Andrei.Horvat talk contribs created page S:E15.208-sol2 (Created page with "'''S:E15.208 (Angela Lopată)''' ''Determinați toate numerele naturale consecutive care au suma <math>2015</math>.'' '''Soluția 2.''' Fie <math>N\in \mathbb{N}\setminus\left\{0,1\right\}</math> numărul de termeni ai sumei. Cum suma a <math>4n</math> numere consecutive este un număr par, iar <math>2015</math> este număr impar, deducem că <math>4 \nmid N</math>. Pentru <math>N=4n+2</math>, cu <math>n\in\mathbb{N}</math>, suma se poate scrie <math display="block"...")
15:07, 19 August 2025 Andrei.Horvat talk contribs created page File:16898.png
15:07, 19 August 2025 Andrei.Horvat talk contribs uploaded File:16898.png
15:05, 19 August 2025 Andrei.Horvat talk contribs created page E:16899 (Created page with "'''E:16899 (Angela Lopată)''' ''Fie <math>ABC</math> un triunghi pentru care lungimea proiecţiei laturii <math>AB</math> pe dreapta <math>BC</math> este mai mare decât lungimea segmentului <math>\left[AC\right]</math>. considerăm punctele <math>M</math>, <math>N</math> pe laturile <math>\left(BC\right)</math>, respectiv <math>\left(AC\right)</math> astfel încât <math>BM = CN</math>. Fie punctul <math>P</math> astfel încât <math>NM = MP</math>, punctele <math...")
14:23, 17 August 2025 Andrei.Horvat talk contribs created page File:Outputname-1.png
14:23, 17 August 2025 Andrei.Horvat talk contribs uploaded File:Outputname-1.png
14:18, 17 August 2025 Andrei.Horvat talk contribs created page P:1794 (Created page with "'''P:1794 (Florin Bojor)''' ''Suma a trei numere este <math>182</math>. Aflați cele trei numere, știind că jumătatea primului număr, treimea celui de-al doilea și pătrimea celui de-al treilea număr sunt trei numere consecutive în ordine crescătoare.'' '''Soluție'''") Tag: Visual edit
14:06, 17 August 2025 Andrei.Horvat talk contribs created page P:1793 (Created page with "'''P:1793 (Ioana Roman)]]''' ''Determinați cel mai mic număr de forma <math>\overline{abcd}</math> pentru care are loc egalitatea <math>1+\overline{abcd}= 88 \times \overline{cd}</math>.'' '''Soluție''' Egalitatea din enunț se scrie în mod echivalent <math>1+\overline{ab} \times 100 + \overline{cd}= 88 \times \overline{cd}</math>, ceea ce conduce la <math display="block">\overline{ab01}= 87 \times \overline{cd}</math>. Cum doar produsul <math>7 \times 3</math>...")
12:19, 16 August 2025 Andrei.Horvat talk contribs created page P:1792 (Created page with "'''P:1792 (Monica Dragoș)''' ''Determinați numărul natural <math>\overline{ab}</math> pentru care <math>a \times \overline{b00b} + \overline{aa} = 2024</math>.'' '''Soluție''' Evident, cifrele <math>a</math> și <math>b</math> sunt diferite de <math>0</math>. Din <math>\overline{b00b} < 2024</math> se obține <math>b\le2</math>, deci cifra <math>b</math> poate lua valorile <math>1</math> sau <math>2</math>. Egalitatea din enunț se poate scrie în forma echivale...")
07:46, 5 August 2025 Andrei.Horvat talk contribs created page 28867 (Created page with "'''28867 (Natalia Fărcaș)''' ''Fie funcția injectivă <math>f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}</math>, cu proprietatea că există numerele reale <math>a</math> și <math>b</math> astfel încât <math>f\left(x\right) \cdot f\left(1-x\right) = f\left(ax+b\right)</math> oricare ar fi <math>x\in \mathbb{R}</math>. # Demonstrați că <math>f\left(1-b\right)=1</math>. # Dați un exemplu de șir <math> \left(f_n\right)_{n\ge 1}</math> de funcții injective <math>f_n:\mathb...")
08:18, 4 August 2025 Andrei.Horvat talk contribs created page File:Laticeale-5-2024.png
08:18, 4 August 2025 Andrei.Horvat talk contribs uploaded File:Laticeale-5-2024.png
07:42, 4 August 2025 Andrei.Horvat talk contribs created page 28868 (problema 28868) Tag: Visual edit
18:51, 14 July 2025 Andrei.Horvat talk contribs created page S:E18.122 (Created page with "'''S:E18.122 (Florin Bojor)''' ''Verificați dacă numărul <math>a={1^{{{3}^{{{5}^{{{\cdots}^{2019}}}}}}}}+{3^{{{5}^{{{7}^{{{\cdots}^{2019}}}}}}}}+{5^{{{7}^{{{9}^{{{\cdots}^{2019}}}}}}}}+\ldots +{2017^{2019}}+2019</math> este divizibil cu <math>10</math>. '''Soluție.''' Notăm cu <math>u\left(n\right)</math> ultima cifră a numărului natural <math>n</math>, iar prin <math>\tilde{n}</math> nătăm numărul") Tag: Visual edit: Switched
04:22, 9 July 2025 Andrei.Horvat talk contribs created page P:1791 (Created page with "'''P:1791 (Vraja-Lőkös Éva-Ibolya)''' ''Suma a două numere naturale, pare, consecutive este <math>90</math>. Aflați produsul acestor numere.'' '''Soluție'''")
04:13, 9 July 2025 Andrei.Horvat talk contribs created page Gazeta matematică 2024 (Created page with "== Gazeta Matematică 5/2024 ==") Tag: Visual edit
14:37, 23 January 2025 Andrei.Horvat talk contribs created page 27429 (Created page with "'''27429 (Radu Pop și Vasile Ienutaș, Baia Mare)''' ''Fie <math>A, B \in M_3(\mathbb{R})</math> cu proprietatea că <math>A^2 + B^2 = 2AB + BA</math>. Să se arate că'' <math> \det(4AB - BA) + \det(AB - 4BA) = 10\det(AB + 2BA) - 10\det(2AB + BA). </math> '''Soluție''' Avem <math> |\det(A + iB)|^2 = \det((A - iB)(A + iB)) = \det(A^2 + B^2 + i(AB - BA)) = \det(2AB + BA + i(AB - BA)). </math> Fie <math>f = \det(2AB + BA + X(AB - BA)) \in \mathbb{C}[X]</math>. Av...")
14:22, 23 January 2025 Andrei.Horvat talk contribs created page E:15414 (Created page with "'''E:15414 (Cristina Vijdeluc și Mihai Vijdeluc)''' ''Aflați numerele prime <math>a, b, c, d</math> pentru care <math>29a^5 + 39b^2 + 38c + 20d = 2019</math>.'' '''Soluție''' Din <math>29a^5 \leq 2019</math> deducem că <math>a^5 \leq 69</math> și deci <math>a = 2</math>. Relația devine <math>39b^2 + 38c + 20d = 1091, \quad (1).</math> Din <math>39b^2 \leq 1091</math> deducem că <math>b^2 \leq 27</math>. Dacă <math>b = 2</math>, relația <math>(1)</math...")
16:54, 19 January 2025 Andrei.Horvat talk contribs created page E:15760 (Created page with "'''E:15760 (Cristina și Mihai Vijdeluc)''' ''Aflați numerele <math>\overline{abcd}</math> și <math>n</math> pentru care <math>\overline{abcd}+a+b+c+d=n!</math>.'' '''Soluție.''' Cum <math>1001 \le \overline{abcd}+a+b+c+d \le 10035</math>, avem <math>1001 \le n! \le 10035</math>, de unde rezultă <math>n=7</math>, cu <math>n! = 7! = 5040</math>. Deoarece <math>1 \le a+b+c+d \le 36</math>, rezultă <math>5004 \le \overline{abcd} \le 5039</math>, ceea ce implică <...")
13:02, 19 January 2025 Andrei.Horvat talk contribs created page E:16552 (Created page with "'''E:16552 (Cristina Vijdeluc, Salonic și Mihai Vijdeluc)''' ''Aflați cifrele <math>a, b, c</math> astfel încât <math>\overline{a,b(c)} = \frac{\overline{c7}}{\overline{c0}}</math>.'' '''Soluție''' Se observă că <math>c \neq 0</math>. De asemenea, <math>\frac{\overline{c7}}{\overline{c0}} = \frac{\overline{c0} + 7}{\overline{c0}} = 1 + \frac{7}{c \cdot 10}</math>. Fracția ordinată <math>\frac{7}{c \cdot 10}</math> se transformă într-o fracție zecimal...")
08:28, 19 January 2025 Andrei.Horvat talk contribs created page 26927 (Created page with "'''26927 (Radu Pop și Vasile Ienuțaș)''' ''Polinomul <math>f = ax^3 + bx^2 + cx + d\in \mathbb{R}\left[X\right]</math> are toate rădăcinile reale și verifică inegalitatea <math>b^2 - 4ac < ad - 4a^2</math>. Să se arate că rădăcinile nu pot fi toate strict pozitive.'' '''Soluție.''' Inegalitatea <math>b^2 - 4ac < ad - 4a^2</math> este echivalentă cu <math>\left(-\frac{b}{a}\right)^2 - 4\cdot \frac{c}{a}< \frac{d}{a} - 4</math>, ceea ce este echivalent...")
11:55, 17 January 2025 Bogdan.Pop talk contribs created page 14309 (Created page with "'''E:14309 (Bogdan Pop)'''") Tag: Visual edit
02:48, 17 January 2025 Danciu Daniel talk contribs created page E14309 (Created page with "'''E:14309. (Alexandru Vele, Târgu Lăpuș)''' ''Determinați numerele naturale'' <math>a_1, a_2, a_3, a_4, a_5, a_6, a_7</math> ''astfel încât să avem egalitatea:'' ''2012 ='' <math>a_1 \cdot 3^x + a_2 \cdot 3^y + a_3 \cdot 3^z + a_4 \cdot 3^t + a_5 \cdot 3^u + a_6 \cdot 3^r + a_7 \cdot 3^s</math> ''Arătați că a1 + a2 + a3 + a4 + a5 + a6 + a7 = m2 + n2 , m,n...") Tag: Visual edit
12:39, 16 January 2025 Ionut talk contribs created page E:26460 (Created page with "'''Problema 26460 (Nicolae Mușuroia, Baia Mare)''' ''Să se arate că dacă a, b, c sunt numere reale strict pozitive cu <math>a + b + c = abc</math>, atunci <math>(1 + a^2)(1 + b^2)(1 + c^2) \geq 64</math>.'' '''Soluție.''' Relația <math>a + b + c = abc</math> se scrie <math>\frac{1}{bc} + \frac{1}{ca} + \frac{1}{ab} = 1</math>. Avem: <math> 1 + a^2 = a^2 \left( 1 + \frac{1}{a^2} \right) = a^2 \left( \frac{1}{bc} + \frac{1}{ca} + \frac{1}{ab} + \frac{1}{a^2} \righ...") Tag: Visual edit: Switched
07:38, 16 January 2025 Andrei.Horvat talk contribs created page E:16610 (Created page with "'''E:16610 (Cristina Vijdeluc, Salonic și Mihai Vijdeluc) ''' ''Aflați numerele naturale <math>\overline{abc}</math>, știind că <math>\overline{ab}</math> și <math>\overline{cb}</math> sunt numere prime și <math>\overline{ab}^2 + \overline{cb}^2 + b^2 = 2027</math>.'' '''Soluție''' Din relația dată deducem că <math>\overline{ab} \leq 43</math>, <math>\overline{cb} \leq 43</math>. În plus, cum acestea sunt numere prime de două cifre, trebuie să fie impare...")
08:00, 14 January 2025 Maria.Olivia.Pop talk contribs created page E:14313 (Created page with "'''E:14313 (Emil Florin Bizău și Ioan Bizău, Sighetu Marmației)''' ''Determinați numerele întregi <math>x</math>, <math>y</math> și <math>z</math> astfel încât: ''")