P:1799

P:1799 (Nicolae Mușuroia)

La un test Ana rezolvă $5$ probleme și $3$ exerciții și obține $75$ de puncte. La același test, Dan a obținut $75$ de puncte pentru rezolvarea a $4$ probleme și $5$ exerciții. Se știe că punctajul maxim care poate fi obținut este $100$ de puncte, dintre care $10$ puncte sunt acordate din oficiu. Aflați câte puncte valorează o problemă și câte puncte valorează un exercițiu.

Soluție

Metoda I. Rezolvarea aritmetică prin metoda comparației. Datele problemei pot fi sintetizate astfel:

$$5{\text{ probleme}}\ldots \ldots 3{\text{ exerciții}}\ldots \ldots 65{\text{ puncte}}$$

$$4{\text{ probleme}}\ldots \ldots 5{\text{ exerciții}}\ldots \ldots 65{\text{ puncte}}$$

Pentru a fi posibilă comparația, considerăm setul Anei de patru ori, iar setul lui Dan de cinci ori, astfel avem situația

$$20{\text{ probleme}}\ldots \ldots 12{\text{ exerciții}}\ldots \ldots 260{\text{ puncte}}$$

$$20{\text{ probleme}}\ldots \ldots 25{\text{ exerciții}}\ldots \ldots 325{\text{ puncte}}$$

Acum cele două seturi se diferențiază prin cele $25-12=13$ exerciții care valorează $325-260=65$ puncte.

1. Câte puncte valorează un exercițiu?

$$65:13=5{\text{ (puncte)}}$$

2. Câte puncte valorează o problemă?

$$\left(65-3\times 5\right):5=10{\text{ (puncte)}}$$

Metoda a II-a. Rezolvarea prin metoda aritmetică. Dacă notăm cu $x$ numărul de puncte cu care se punctează o problemă, iar cu $y$ numărul de puncte cu care se punctează un exercițiu, atunci se obține sistemul

$${\begin{cases}5x+3y=65\\4x+5y=65\end{cases}}$$

care admite soluția

$${\begin{cases}x=10\\y=5\end{cases}}$$

Răspuns: o problemă valorează $10$ puncte, un exercițiu valorează $5$ puncte.