28868

28868 (Andrei Horvat-Marc)

Fie $n\in \mathbb {N^{\ast }}$ și funcțiile $f:\left[0,2n^{2}+3n\right]\to \left[1,2n+1\right]$, $f\left(x\right)={\frac {{\sqrt {8x+9}}-1}{2}}$ și $g:\left[1,2n+1\right]\to \left[0,2n^{2}+3n\right]$, $g\left(x\right)=f^{-1}\left(x\right)$.

Fie punctele $A\left(2n^{2}+3n,2n+1\right)$, $B\left(2n+1,2n^{2}+3n\right)$ și mulțimea $M$ a punctelor din plan cuprinse între graficele funcțiilor $f$ și $g$ și dreapta $AB$. Aflați numărul punctelor din $M$ care au ambele coordonate întregi.

Soluție.

Cum $g=f^{-1}$, se obține că funcția $g:\left[1,2n+1\right]\to \left[0,2n^{2}+3n\right]$ este definită prin $g\left(x\right)={\dfrac {\left(x-1\right)\left(x+2\right)}{2}}$. Mai mult, $g\left(k\right)\in \mathbb {N}$ oricare ar fi $k\in \left[1,2n+1\right]\cap \mathbb {N}$.

Avem $B\left(2n+1,2n^{2}+3n\right)\in G_{g}$, $A\left(2n^{2}+3n,2n+1\right)\in G_{f}$ și $G_{f}\cap G_{g}=\left\{D\left(2,2\right)\right\}$.

Au loc inegalitățile $f\left(x\right)\leq x$ oricare ar fi $x\in \left[2,2n^{2}+3n\right]$ și $g\left(x\right)\geq x$ oricare ar fi $x\in \left[2,2n+1\right]$.

Considerăm că mulțimea $M$ este mulțimea tuturor punctelor din plan cuprinse în interiorul triunghiului curbiliniu $ABD$, deci este necesar să numărăm punctele laticeale din interiorul triunghiului curbiliniu $ABD$, vom nota cu $M_{n}$ acest număr.

Între segmentele $G_{f}$ și $G_{g}$ se situează și punctul $Q\left(1,1\right)$, însă considerăm $M$ ca fiind mulțimea închisă delimitată de $G_{f}$, $G_{g}$ și $\left[AB\right]$.

Fie punctele $C\left(2n^{2}+3n,2n^{2}+3n\right)$, $E\left(2,2n^{2}+3n\right)$, $F\left(2n^{2}+3n,2\right)$. Observăm că, datorită simetriei, triunghiurile curbilinii $DBE$ și $DAF$ conțin același număr de puncte laticeale.

Notăm cu $A_{n}$ numărul punctelor laticeale din interiorul și de pe frontiera pătratului $DFCE$., cu $T_{n}$ numărul punctelor laticeale din interiorul și de pe frontiera triunghiului $CAB$ și cu $S_{n}$ numărul punctelor laticeale din interiorul și de pe frontiera triunghiului curbiliniu $DBE$.

Avem

$$A_{n}=\left(2n^{2}+3n-1\right)^{2},$$

$$T_{n}=\sum \limits _{k=1}^{2n^{2}+n}k={\dfrac {1}{2}}n\left(2n+1\right)\left(2n^{2}+n+1\right),$$

și

$$S_{n}=\sum \limits _{k=2}^{2n+1}\left(2n^{2}+3n+1-g\left(k\right)\right)={\dfrac {1}{3}}n\left(2n+1\right)\left(4n+1\right).$$

Atunci

$$M_{n}=A_{n}-2S_{n}-T_{n}+3,$$

în formula precedenă de adaugă $3$ pentru a corecta faptul că punctele $A$, $B$, respectiv $D$, sunt puncte comune ale regiunilor $ADF$, $BDE$, respectiv $CAB$.

Se obține

$$M_{n}={\dfrac {1}{6}}\left(12n^{4}+28n^{3}-3n^{2}-43n+24\right),n\in \mathbb {N} ^{\ast }.$$

Cazuri particulare:

$M_{1}=3$ este ușor de construit și verificat,

$M_{2}=57$ este reprezentat în figura alăturată,

$M_{3}=266$ și $M_{4}=778$.

Observație Problema de mai sus este echivalentă cu următoarea problemă

Fie $n\in \mathbb {N} ^{\ast }$ un număr natural și funcția $f:\left[0,2n^{2}+3n\right]\to \left[1,2n+1\right]$, cu $f\left(x\right)={\dfrac {{\sqrt {8x+9}}-1}{2}}$. Determinați valoarea sumei $S\left(n\right)=\sum \limits _{k=0}^{2n^{2}+3n}\left[f\left(k\right)\right]$, unde prin $\left[a\right]$ s-a notat partea întreagă a numărului real $a\in \mathbb {R}$.