23964

23964 (Marin Bancoș)

Să de demonstreze inegalitatea

$$\sum _{i=2}^{n}{\sqrt[{i}]{\left(i!\right)^{2}}}<{\frac {2n^{3}+9n^{2}+13n-24}{24}}.$$

Soluție

Pentru orice număr natural $n$, cu $n\geq 2$ are loc inegalitatea

$${\sqrt[{n}]{n!}}={\sqrt[{n}]{1\cdot 2\cdot \ldots \cdot n}}<{\frac {1+2+\ldots +n}{n}}={\frac {n+1}{2}}.$$

Atunci

$$\sum _{i=2}^{n}{\sqrt[{i}]{\left(i!\right)^{2}}}<\sum _{i=2}^{n}{\frac {\left(i+1\right)^{2}}{4}}$$

Suma $S_{n}=\sum _{i=2}^{n}{\frac {\left(i+1\right)^{2}}{4}}$ poate fi calculată prin mai multe metode. De exemplu, avem

$$S_{n}={\frac {1}{4}}\cdot \sum _{i=3}^{n+1}i^{2}={\frac {1}{4}}\left({\frac {n\left(n+1\right)\left(2n+1\right)}{6}}-5\right)={\frac {2n^{3}+9n^{2}+13n-24}{24}}.$$

În concluzie, pentru orice $n\geq 2$ are loc inegalitatea

$$\sum _{i=2}^{n}{\sqrt[{i}]{\left(i!\right)^{2}}}<{\frac {2n^{3}+9n^{2}+13n-24}{24}}.$$

◎ soluție oferită de D. Bărbosu