S:E15.208-sol2

S:E15.208 (Angela Lopată)

Determinați toate numerele naturale consecutive care au suma $2015$.

Soluția 2.

Fie $N\in \mathbb {N} \setminus \left\{0,1\right\}$ numărul de termeni ai sumei.

Cum suma a $4n$ numere consecutive este un număr par, iar $2015$ este număr impar, deducem că $4\nmid N$.

Pentru $N=4n+2$, cu $n\in \mathbb {N}$, suma se poate scrie

$$\left(b-2n\right)+\left(b-2n+1\right)+\ldots +\left(b-1\right)+b+\left(b+1\right)+\left(b+1\right)+\ldots +\left(b+2n\right)+\left(a+2n+1\right)=2015,$$

unde $b\in \mathbb {N}$, cu $b\geq 2n$. Se obține

$$\left(2n+1\right)\left(2b+1\right)=1\cdot 5\cdot 13\cdot 31.$$

Pentru $2n+1=1$ se obține $b=1007$ și suma

$$1007+1008=2015.$$

Pentru $2n+1=5$ se obține $b=201$ și suma

$$197+198+\ldots +206=2015.$$

Pentru $2n+1=13$ se obține $b=77$ și suma

$$65+66+\ldots +67=2015.$$

Pentru $2n+1=31$ se obține $b=32$ și suma

$$2+3+\ldots +63=2015.$$

Celelalte situații posibile nu satisfac condiția $b\geq 2n$.

Pentru $N=2n+1$, cu $n\in \mathbb {N} ^{\ast }$, suma se poate scrie

$$\left(b-n\right)+\left(b-n+1\right)+\ldots +\left(b-1\right)+b+\left(b+1\right)+\left(b+2\right)+\ldots +\left(b+n\right)=2015,$$

unde $b\in \mathbb {N}$, cu $b\geq n$.

Se obține

$$\left(2n+1\right)\cdot b=5\cdot 13\cdot 31.$$

Pentru $2n+1=5$ se obține $b=403$ și suma

$$401+402+403+404+405=2015.$$

Pentru $2n+1=13$ se obține $b=155$ și suma

$$149+150+\ldots +161=2015.$$

Pentru $2n+1=31$ se obține $b=65$ și suma

$$50+51+\ldots +80=2015.$$

Celelalte situații posibile nu satisfac condiția $b\geq n$.