Gazeta matematică 2020: Difference between revisions
mNo edit summary |
|||
| (11 intermediate revisions by the same user not shown) | |||
| Line 1: | Line 1: | ||
== Gazeta matematică 1/2020 == | == Gazeta matematică 1/2020 == | ||
''' [[E:15651]] (Mihai Pălincaș, elev)''' | |||
''Determinați soluțiile raționale ale ecuației <math>x^{2020} - x^2 - 3x = 0</math>.'' | |||
'''[[27795]] (Adrian Boroica și Florin Bojor)''' | '''[[27795]] (Adrian Boroica și Florin Bojor)''' | ||
''Fie'' <math>n</math> ''un număr natural care nu este multiplu de <math>4</math> și <math>G</math> un grup necomutativ de ordin <math>n</math>. Să se demonstreze că există două automorfisme ale lui <math>G</math> care au aceleași puncte fixe.'' | ''Fie'' <math>n</math> ''un număr natural care nu este multiplu de <math>4</math> și <math>G</math> un grup necomutativ de ordin <math>n</math>. Să se demonstreze că există două automorfisme ale lui <math>G</math> care au aceleași puncte fixe.'' | ||
== Gazeta matematică 2/2020 == | |||
=== Supliment === | |||
'''[[S:E20.56]] (Cristina Vijdeluc, Mihai Vijdeluc)''' | |||
''Se consideră triunghiul <math>ABC</math>, cu <math>AB=AC</math> și <math>\sphericalangle A = 36^\circ</math>. Punctul <math>D</math> aparține laturii <math>AC</math> astfel încât <math>BD</math> este bisectoarea unghiului <math>ABC</math>. Mediatorarea segmentului <math>AD</math> intersectează latura <math>AB</math> în <math>E</math>. Arătați că <math>DB</math> este bisectoare pentru unghiul <math>CDE</math>.'' | |||
== Gazeta matematică 3/2020 == | == Gazeta matematică 3/2020 == | ||
'''Articol''' - Florin Bojor, Mircea Rus, Vasile Pop, ''Concursul interjudețean de matematică "ARGUMENT" - Ediția a XI-a, Baia Mare, 1-2 Noiembrie 2019 '' | |||
'''[[15678|E:15678]] (Cristina Vijdeluc și Mihai Vijdeluc)''' | '''[[15678|E:15678]] (Cristina Vijdeluc și Mihai Vijdeluc)''' | ||
''Aflați toate numerele de forma'' <math>\overline{abcd}</math> ''pentru care''<math | ''Aflați toate numerele de forma'' <math>\overline{abcd}</math> ''pentru care'' <math>\overline{abcd} = 2021 + 5\left(a-c+b-d+1\right).</math> | ||
'''[[E:15682]] (Cristina Vijdeliuc și Mihai Vijdeliuc)''' | |||
''Determinați numerele naturale <math>x</math> și <math>y</math> pentru care <math>x\left(2x+1\right) = \frac{1010}{2y+1}</math>.'' | |||
'''[[15685|E:15685]] (Cristina Vijdeliuc și Mihai Vijdeliuc)''' | '''[[15685|E:15685]] (Cristina Vijdeliuc și Mihai Vijdeliuc)''' | ||
| Line 34: | Line 53: | ||
''Se consideră mulțimea numerelor naturale de patru cifre, cifre care, într-o anumită ordine, sunt consecutive. Determinați probabilitatea ca, alegând la întâmplare un număr din această mulțime, acesta să fie divizibil cu 36.'' | ''Se consideră mulțimea numerelor naturale de patru cifre, cifre care, într-o anumită ordine, sunt consecutive. Determinați probabilitatea ca, alegând la întâmplare un număr din această mulțime, acesta să fie divizibil cu 36.'' | ||
== Gazeta matematică 6-7-8/2020 == | |||
'''Articol''' - Gheorghe Boroica, ''Partiții ale unor mulțimi finite de numere întregi'' | |||
== Gazeta matematică 9/2020 == | == Gazeta matematică 9/2020 == | ||
'''Mușuroia, N.,''' Savu, I., ''Clase de șiruri pentru care termenul general nu se poate reprezenta sub formă rațională'' | '''Mușuroia, N.,''' Savu, I., ''Clase de șiruri pentru care termenul general nu se poate reprezenta sub formă rațională'' | ||
'''E:15760''' '''(Cristina Vijdeluc și Mihai Vijdeluc, Baia Mare)''' | '''[[E:15760]]''' '''(Cristina Vijdeluc și Mihai Vijdeluc, Baia Mare)''' | ||
''Aflați numerele naturale'' <math>\overline{abcd}</math> ''și'' <math>n</math> ''pentru care'' <math>\overline{abcd} + a+b+c+d= n!.</math> | ''Aflați numerele naturale'' <math>\overline{abcd}</math> ''și'' <math>n</math> ''pentru care'' <math>\overline{abcd} + a+b+c+d= n!.</math> | ||
| Line 48: | Line 71: | ||
'''E:15765''' '''(Cristina Vijdeluc și Mihai Vijdeluc, Baia Mare)''' | '''E:15765''' '''(Cristina Vijdeluc și Mihai Vijdeluc, Baia Mare)''' | ||
''Determinați numerele prime'' <math>a < b < c < d</math> '' știind că '' <math | ''Determinați numerele prime'' <math>a < b < c < d</math> '' știind că '' <math>79a + 90b +21c + 77d = 2020.</math> | ||
== Gazeta matematică 10/2020 == | == Gazeta matematică 10/2020 == | ||
| Line 54: | Line 77: | ||
'''[[E:15777]] (Anca Mihiș, Baia Mare)''' | '''[[E:15777]] (Anca Mihiș, Baia Mare)''' | ||
''Arătaţi că numărul natural ''<math | ''Arătaţi că numărul natural ''<math>A = \left( 2^2 \cdot 2^4 \cdot 2^6 \cdot \ldots \cdot 2^{2020}\right): \left(2 \cdot 2^3 \cdot 2^5 \cdot \ldots \cdot 2^{2019} \right)</math> ''este pătratul unui număr natural.'' | ||
''este pătratul unui număr natural.'' | |||
== Gazeta matematică 11/2020 == | == Gazeta matematică 11/2020 == | ||
Latest revision as of 16:49, 19 January 2025
Gazeta matematică 1/2020
E:15651 (Mihai Pălincaș, elev)
Determinați soluțiile raționale ale ecuației Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x^{2020} - x^2 - 3x = 0} .
27795 (Adrian Boroica și Florin Bojor)
Fie Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle n} un număr natural care nu este multiplu de Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 4} și Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle G} un grup necomutativ de ordin Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle n} . Să se demonstreze că există două automorfisme ale lui Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle G} care au aceleași puncte fixe.
Gazeta matematică 2/2020
Supliment
S:E20.56 (Cristina Vijdeluc, Mihai Vijdeluc)
Se consideră triunghiul Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle ABC} , cu Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle AB=AC} și Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \sphericalangle A = 36^\circ} . Punctul Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle D} aparține laturii Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle AC} astfel încât Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle BD} este bisectoarea unghiului Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle ABC} . Mediatorarea segmentului Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle AD} intersectează latura Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle AB} în Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle E} . Arătați că Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle DB} este bisectoare pentru unghiul Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle CDE} .
Gazeta matematică 3/2020
Articol - Florin Bojor, Mircea Rus, Vasile Pop, Concursul interjudețean de matematică "ARGUMENT" - Ediția a XI-a, Baia Mare, 1-2 Noiembrie 2019
E:15678 (Cristina Vijdeluc și Mihai Vijdeluc)
Aflați toate numerele de forma Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \overline{abcd}} pentru care Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \overline{abcd} = 2021 + 5\left(a-c+b-d+1\right).}
E:15682 (Cristina Vijdeliuc și Mihai Vijdeliuc)
Determinați numerele naturale Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x} și Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle y} pentru care Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x\left(2x+1\right) = \frac{1010}{2y+1}} .
E:15685 (Cristina Vijdeliuc și Mihai Vijdeliuc)
Se consideră triunghiul dreptunghic Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle ABC } , cu Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \angle A\ = 90^\circ } și Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \angle B\ = 30^\circ } . Punctul Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle D} aparține laturii Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle BC } astfel încât Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle AD \perp BC } , punctul Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle M } este mijlocul segmentului Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle BC } , iar punctul Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle E } aparține laturii Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle AB } astfel încât Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle ME \perp AB } . Arătați că Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle DE \perp AM } .
Gazeta matematică 4/2020
E:15694 (Traian Covaciu)
Suma a două numere naturale nenule este Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 2020} . Dacă împărţim primul număr la al doilea, obţinem câtul egal cu restul. Aflaţi cele două numere.
E:15695 (Cristina Vijdeluc şi Mihai Vijdeluc)
Aflaţi numerele de forma Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \overline{ab},} ştiind că Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \overline{aaa} \cdot b + \overline{bb} = 2020.}
E:15698 (Cristina Vijdeluc și Mihai Vijdeluc, Baia Mare)
Determinați numerele naturale Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a} , Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle b} , Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle c} pentru care Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \left(2020 a \right)^2 + \left(2021 b\right)^2 = 2022 c^2} .
Gazeta matematică 5/2020
E:15714 (Traian Covaciu)
Se consideră mulțimea numerelor naturale de patru cifre, cifre care, într-o anumită ordine, sunt consecutive. Determinați probabilitatea ca, alegând la întâmplare un număr din această mulțime, acesta să fie divizibil cu 36.
Gazeta matematică 6-7-8/2020
Articol - Gheorghe Boroica, Partiții ale unor mulțimi finite de numere întregi
Gazeta matematică 9/2020
Mușuroia, N., Savu, I., Clase de șiruri pentru care termenul general nu se poate reprezenta sub formă rațională
E:15760 (Cristina Vijdeluc și Mihai Vijdeluc, Baia Mare)
Aflați numerele naturale Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \overline{abcd}} și Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle n} pentru care Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \overline{abcd} + a+b+c+d= n!.}
E:15761 (Cristina Vijdeluc și Mihai Vijdeluc, Baia Mare)
Aflați numerele naturale Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \overline{ab}} pentru care Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 3^a+4b=\overline{ab}.}
E:15765 (Cristina Vijdeluc și Mihai Vijdeluc, Baia Mare)
Determinați numerele prime Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a < b < c < d} știind că Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 79a + 90b +21c + 77d = 2020.}
Gazeta matematică 10/2020
E:15777 (Anca Mihiș, Baia Mare)
Arătaţi că numărul natural Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A = \left( 2^2 \cdot 2^4 \cdot 2^6 \cdot \ldots \cdot 2^{2020}\right): \left(2 \cdot 2^3 \cdot 2^5 \cdot \ldots \cdot 2^{2019} \right)} este pătratul unui număr natural.
Gazeta matematică 11/2020
27930 (Nicolae Mușuroia)
Fie Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle z_1, z_2} respectiv Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle z_3} , afixele vârfurilor triunghiului Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A_1A_2A_3} , înscris în cercul Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle C(0,1)} . Arătați că triunghiul Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A_1A_2A_3} este echilateral dacă și numai dacă Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (z_1+z_2)(z_2+z_3)(z_3+z_1) \not= 0} și Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{1}{z_1+z_2} + \frac{1}{z_2+z_3} + \frac{1}{z_3+z_1} = 0} .
Supliment
S:E21.313 (Cristina Vijdeluc & Mihai Vijdeluc)
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{x-5}{1013} + \frac{x-7}{1014} + \frac{x-9}{1015} = \frac{x+2009}{6} + \frac{x+2005}{8} + \frac{x+2001}{10}.}
S:L21.287 (Gheorghe Boroica)
Arătați că, pentru orice număr natural Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle n \ge 3} , ecuația Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x^2 + y^2 + z^2 =5^n} are soluții în mulțimea numerelor naturale nenule.