E:15694

E:15694 (Traian Covaciu)

Suma a două numere naturale nenule este 2020. Dacă împărţim primul număr la al doilea, obţinem câtul egal cu restul. Aflaţi cele două numere.

Soluție.

Dacă $a$ şi $b$ sunt cele două numere, $a>b$ şi $c$ este câtul şi restul, atunci $a+b=2020$ $(1)$ şi $a=b\cdot c+c$ $(2)$, cu $c<b$.

Înlocuind pe $(2)$ în $(1)$ avem $b\cdot c+c+b=2020$, ceea ce conduce la $c(b+1)+b+1=2021$, de unde se obține

$$(b+1)(c+1)=2021.$$

Cum $2021=43\cdot 47$ putem avea $b+1=43$ şi $c+1=47$ sau $b+1=47$ şi $c+1=43$. În primul caz $b=42$ şi $c=46$, care nu convine (avem condiţia $c<b$). În al doilea caz $b=46$ şi $c=42$. Obţinem $a=1974$.

Deci, numerele căutate sunt

$$a=1974,b=46.$$