E:15777

E:15777 (Anca Mihiș, Baia Mare)

Arătaţi că numărul natural

$$A=\left(2^{2}\cdot 2^{4}\cdot 2^{6}\cdot \ldots \cdot 2^{2020}\right):\left(2\cdot 2^{3}\cdot 2^{5}\cdot \ldots \cdot 2^{2019}\right).$$

este pătratul unui număr natural.

Soluția 1.

Folosind regulile de calcul cu puteri, numărul $A$ devine

$$A=2^{2-1}\cdot 2^{4-3}\cdot 2^{6-5}\cdot \ldots \cdot 2^{2020-2019}.$$

Deci

$$A=2^{1010}=\left(2^{505}\right)^{2},$$

aşadar $A$ este pătratul perfect al numărului natural $2^{505}$.

Soluția 2.

Deîmpărțitul este un produs de $1010$ factori, deci

$$2^{2}\cdot 2^{4}\cdot 2^{6}\cdot \ldots \cdot 2^{2020}=2^{\frac {\left(2+2020\right)\cdot 1010}{2}}=2^{2022\cdot 505}.$$

Împărțitorul este un produs de $1010$ factori, deci

$$2^{1}\cdot 2^{3}\cdot 2^{5}\cdot \ldots \cdot 2^{2019}=2^{\frac {\left(1+2019\right)\cdot 1010}{2}}=2^{2020}\cdot 505.$$

Folosind regulile de calcul cu puteri, numărul $A$ devine

$$A=2^{2022\cdot 505}:2^{2020\cdot 505}.$$

Cum $A=2022\cdot 505-2020\cdot 505=505\cdot \left(2022-2020\right)=505\cdot 2,$ avem că

$$A=2^{505\cdot 2}=\left(2^{505}\right)^{2}.$$

Deci $A$ este pătratul perfect al numărului natural $2^{505}$.