27795

27795 (Adrian Boroica și Florin Bojor)

Fie $n$ un număr natural care nu este multiplu de $4$ și $G$ un grup necomutativ de ordin $n$. Să se demonstreze că există două automorfisme ale lui $G$ care au aceleași puncte fixe.

Soluție:

Pentru orice $a\in G$, funcția $f_{a}:G\rightarrow G,f_{a}(x)=axa^{-1}$este un automorfism. Un element $x_{0}\in G$ este punct fix al automorfismului $f_{a}$ dacă și numai dacă $f_{a}(x_{0})$, echivalent cu $x_{0}a=ax_{0}$ sau, cu alte cuvinte, cu $x_{0}\in C(a)$ (centralizatorul lui a).

În particular, deoarece $C(a)=C(a^{-1})$, pentru orice $a\in G$, automorfismele $f_{a}$ și $f_{a^{-1}}$ au aceleași puncte fixe, deci este suficient să arătăm că există $a\in G$ astfe încât $f_{a}\neq f_{a^{-1}}$.

Dacă $f_{a}=f_{a^{-1}}$, atunci, pentru orice $x\in G$ avem $axa^{-1}=a^{-1}xa$, adică $a^{2}x=xa^{2}$, ceea ce revine la $a^{2}\in Z(G)$. Cum $a^{2}\in Z(G)$ pentru orice $a\in Z(G)$, iar $Z(G)\neq G$, vom demonstra că există $a\in G\backslash Z(G)$ astfel încât $a^{2}\notin Z(G)$. Să observăm că dacă ordinul $p$ al unui element $a\in G\backslash Z(G)$ este număr impar, atunci $a^{2}\neq Z(G)$, deoarece, presupunând contrariul, din $a^{2}\in Z(G)$ și $a^{p}=e\in Z(G)$, ar rezulta că $a^{(2,p)}\in Z(G)$, adică $a\in Z(G)$, contradicție. Așadar, este suficient să arătăm că $G\backslash Z(G)$ conține cel puțin un element de ordin impar.

Dacă $|G|$ este număr impar, atunci orice element din $G$, implicit și din $G\backslash Z(G)$, are ordin impar. Dacă $|G|$ este număr par, atunci$|G|=4n+2$, cu $n\in \mathbb {N} ^{*}$. Notând $A=\{x\in G|x^{2n+1}=e\}$, se știe că $|A|=2n+1$. Elementele lui A au ordin impar și, cum $G$ este necomutativ, avem $|Z(G)|\leq {\frac {1}{4}}|G|<|A|$, deci eistă elemente de ordin impar care nu aparțin lui $Z(G)$.