S:L21.287

S:L21.287 (Gheorghe Boroica)

Arătați că, pentru orice număr natural $n\geq 3$, ecuația $x^{2}+y^{2}+z^{2}=5^{n}$ are soluții în mulțimea numerelor naturale nenule.

Soluție:

Pentru $n\geq 3$ un număr impar, avem $n=2k+1$, cu $k\geq 1$. Atunci

$$5^{n}=5^{2k+1}=5^{2k}\cdot 5=5^{2k}\cdot \left(1^{2}+1^{2}+2^{2}\right)=\left(5^{k}\right)^{2}+\left(5^{k}\right)^{2}+\left(2\cdot 5^{k}\right)^{2},$$

deci putem alege soluția $x=5^{\frac {n-1}{2}}$, $y=5^{\frac {n-1}{2}}$ și $z=2\cdot 5^{\frac {n-1}{2}}$.

Pentru $n\geq 3$ un număr par, avem $n=2k$, cu $k\geq 2$. Atunci

$$5^{n}=5^{2k}=5^{2(k-2)}\cdot 5^{4}=5^{2(k-2)}\cdot \left(12^{2}+15^{2}+16^{2}\right)=\left(12\cdot 5^{k-2}\right)^{2}+\left(15\cdot 5^{k-2}\right)^{2}+\left(16\cdot 5^{k-2}\right)^{2},$$

deci putem alege soluția $x=12\cdot 5^{{\frac {n}{2}}-2}$, Nu s-a putut interpreta (MathML cu fallback pe SVG sau PNG (recomandat pentru browserele moderne și uneltele de accesibilitate): Răspuns incorect („Math extension cannot connect to Restbase.”) de la serverul „https://wikimedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle y =15\cdot 5^{\frac{n}{2}-2}} și Nu s-a putut interpreta (MathML cu fallback pe SVG sau PNG (recomandat pentru browserele moderne și uneltele de accesibilitate): Răspuns incorect („Math extension cannot connect to Restbase.”) de la serverul „https://wikimedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle z=16\cdot 5^{\frac{n}{2}-2}} .

Observație: Cum Nu s-a putut interpreta (MathML cu fallback pe SVG sau PNG (recomandat pentru browserele moderne și uneltele de accesibilitate): Răspuns incorect („Math extension cannot connect to Restbase.”) de la serverul „https://wikimedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle 625=5^4=12^2+15^2+16^2=9^2+12^2+20^2} , pentru ecuația considerată se pot determina mai multe soluții.