New pages
- 13:32, 20 September 2025 E:16892 (hist | edit) [1,255 bytes] Andrei.Horvat (talk | contribs) (Created page with "'''E:16892 (Nicolae Mușuroia)''' ''Aflați suma divizorilor pari ai celui mai mare număr natural <math>a</math>, cu <math>a<1000</math>, pentru care suma divizorilor impari este egală cu <math>24</math>.'' '''Soluție''' Căutăm numere de trei cifre, de forma <math>2^m \cdot b</math>, cu <math>m\in \mathbb{N}^\ast</math> și <math>b</math>, unde suma divizorilor numărului natural impar <math>b</math> este egală cu <math>24</math>. Avem două posibilități...")
- 13:12, 20 September 2025 E:16893 (hist | edit) [1,247 bytes] Andrei.Horvat (talk | contribs) (Created page with "'''E:16893 (Traian Covaciu)''' ''Arătați că numerele <math>7n-1</math> și <math>17n-1</math> sunt simultan prime doar dacă <math>n</math> este un multiplu natural al lui <math>6</math>.'' '''Soluție''' Pentru <math>n=6</math> se obțin numerele prime <math>42</math> și <math>101</math>. Dacă <math>n</math> este impar, atunci numerele <math>7n-1</math> și <math>17n-1</math> sunt pare, deci nu pot fi prime, ceea ce implică faptul că <math>2 |\, n</math>....")
- 12:58, 20 September 2025 E:16891 (hist | edit) [1,478 bytes] Andrei.Horvat (talk | contribs) (Created page with "'''E:16891 (Sever Pop)''' ''Determinați numerele prime <math>p</math>, <math>q</math>, <math>r</math>, distincte două câte două, pentru care are loc egalitatea <math>3p^4 - 5q^4 - 4r^2 = 26</math>.'' '''Soluție''' ''Deoarece <math>3p^4 - 5q^4=2\left(13+2r^2\right)</math> este număr par, deducem că numerele prime <math>p</math> și <math>q</math> au aceeași paritate, deci sunt impare. Cum <math>3p^4 - 5q^4>26>0</math>, avem <math>3p^3>5q^4</math>, deci <ma...")
- 05:42, 20 September 2025 E:16889 (hist | edit) [1,027 bytes] Andrei.Horvat (talk | contribs) (Created page with "'''E:16889 (Călin Hossu)''' ''Prin împărțirea unui număr de patru cifre la răsturnatul său, se obține câtul <math>2</math> și restul <math>1977</math>. Aflați numărul, știind că diferența dintre cifra miilor și cifra unităților este <math>5</math>, iar cifra sutelor este cu <math>4</math> mai mare decât cifra zecilor.'' '''Soluție'''")
- 05:36, 20 September 2025 E:16890 (hist | edit) [1,150 bytes] Andrei.Horvat (talk | contribs) (Created page with "'''E:16890 (Bogdan Zetea, Călin Hossu)''' ''Demonstrați că, pentru orice număr natural nenul <math>n</math>, numărul <math>2024^n+n^{2024} + 2</math> nu este un pătrat perfect.'' '''Soluție''' Fie <math>N = 2024^n+n^{2024} + 2</math>. Dacă <math>n</math> este un număr par, atunci există numerele naturale nenule <math>t</math> și <math>u</math> pentru care <math>n^{2024} = 4t</math> și <math>2024^n = 4u</math>. Atunci <math>N = 4t+4u+2 <math>, deci exi...")
- 19:32, 19 September 2025 E:16888 (hist | edit) [720 bytes] Andrei.Horvat (talk | contribs) (Created page with "'''E:16888 (Gheorghe Boroica)''' ''Considerăm <math>n<math> un număr natural nenul. Demonstrați că numărul <math>N = \underbrace{44\ldots4}_{n \text{ cifre}}\underbrace{22\ldots2}_{n \text{ cifre}} </math> poate fi scris ca produsul a două numere naturale consecutive.'' ''''Soluție''' Dacă <math>a=\underbrace{11\ldots1}_{n \text{ cifre}}</math>, atunci <math>9\cdot a+1=10^n</math> și <math display="block">N= 4\cdot a \cdot 10^n + 2 \cdot a = 2\cdot a \...")
- 19:29, 19 September 2025 E:16887 (hist | edit) [698 bytes] Andrei.Horvat (talk | contribs) (Created page with "'''E:16887 (Gheorghe Boroica)''' ''Suma a <math>90</math> de numere naturale este <math>2069</math>. Arătați că există, printre acestea, cel puțin trei numere egale.'' '''Soluție''' Fie <math>S</math> suma celor <math>90</math> de numere. Presupunem contrariul, deci printre cele <math>90</math> de numere, cel mult două numere pot fi egale. Atunci <math display="block"> S \ge \left(1+1\right) + \left(2+2\right) + \left(3+3\right)+\ldots +\left(45+45\right...")
- 16:57, 19 September 2025 P:1800 (hist | edit) [2,000 bytes] Andrei.Horvat (talk | contribs) (Created page with "'''P:1800 (Ioan Ovidiu Pop, Coroieni)''' ''Aflați numărul de telefon <math>\overline{07abcdefgh}</math>, format din zece cifre, nu neapărat distincte, pentru care numerele <math>a+c</math>, <math>b+c</math>, <math>d+e</math>, <math>c+d</math>, <math>a+b+e</math>, <math>c+d+f</math>, <math>b+c+g</math> și <math>d+e+h</math> sunt opt numere consecutive așezate în ordine crescătoare.'' '''Soluție''' Cele opt numere consecutive așezate în ordine crescătoare...")
- 17:50, 17 September 2025 23964 (hist | edit) [1,056 bytes] Andrei.Horvat (talk | contribs) (Created page with "'''23964 (Marin Bancoș)''' ''Să de demonstreze inegalitatea <math display="block"> \sum_{i=2}^{n} \sqrt[i]{\left(i!\right)^2} < \frac{2n^3+9n^2+13n-24}{24} .</math>'' '''Soluție''' Pentru orice număr natural <math>n</math>, cu <math> n\ge 2</math> are loc inegalitatea <math display="block"> \sqrt[n]{n!} = \sqrt[n]{1\cdot 2\cdot \ldots \cdot n} < \frac{1+2+\ldots+n}{n} = \frac{n+1}{2}.</math> Atunci <math display="block"> \sum_{i=2}^{n} \sqrt[i]{\left(I!\right)...")
- 17:48, 17 September 2025 Gazeta matematică 1998 (hist | edit) [237 bytes] Andrei.Horvat (talk | contribs) (Created page with "== Gazeta Matematică 9/1998 ==") Tag: Visual edit
- 03:35, 16 September 2025 P:1799 (hist | edit) [2,112 bytes] Andrei.Horvat (talk | contribs) (Created page with "'''P:1799 (Nicolae Mușuroia)''' ''La un test Ana rezolvă <math>5</math> probleme și <math>3</math> exerciții și obține <math>75</math> de puncte. La același test, Dan a obținut <math>75</math> de puncte pentru rezolvarea a <math>4</math> probleme și <math>5</math> exerciții. Se știe că punctajul maxim care poate fi obținut este <math>100</math> de puncte, dintre care <math>10</math> puncte sunt acordate din oficiu. Aflați câte puncte valorează o prob...") Tag: Visual edit
- 13:28, 14 September 2025 P:1798 (hist | edit) [1,835 bytes] Andrei.Horvat (talk | contribs) (Created page with "'''P:1798 (Andreea Budea)''' ''De ziua ei, Miruna are cinci invitați pentru care a pregătit un coșuleț în care a pus de trei ori mai multe bomboane decât acadele. Fiecare invitat a luat din coșuleț câte o bomboană și câte o acadea. Astfel, în coșuleț au rămas de patru ori mai puține acadele decât bomboane. Aflați câte bomboane și câte acadele au fost la început în coșulețul pregătit de Miruna.'' '''Soluția aritmetică''' Dacă reprezent...") Tag: Visual edit
- 03:17, 14 September 2025 P:1795 (hist | edit) [1,579 bytes] Andrei.Horvat (talk | contribs) (Created page with "'''P:1795 (Gheorghe Boroica)''' ''Numărul <math>42</math> se scrie ca și produsul a <math>2025</math> numere naturale. Determinați suma minimă a tuturor factorilor acestui produs.'' '''Soluție ''' Sunt posibile următoarele scrieri ale numărului <math>42</math> ca și produs de <math>2025</math> de factori: <math display="block">42 = 2 \cdot 3 \cdot 7 \cdot \stackrel{1\cdot 1 \cdot \ldots \cdot 1}{2022}</math> <math display="block">42 = 6 \cdot 7 \cdot \stackr...")
- 03:10, 14 September 2025 P:1796 (hist | edit) [1,240 bytes] Andrei.Horvat (talk | contribs) (Created page with "'''P:1796 (Mariana Pop, Târgu Lăpuș)''' ''Un grup de elevi pornește în drumeție din orașul Târgu Lăpuș și ajunge după cinci ore pe Vârful Țibleș. Distanța de <math>42</math> de kilometri a fost parcursă de grupul de elevi cu bicicletele, mergând cu o viteză de <math>10</math> km/h, iar pe jos cu o viteză de <math>2</math> km/h. Aflați câți kilometri au fost parcurși cu bicicletele și câți kilometri au fost parcurși pe jos.'' ''<math><m...") Tag: Visual edit
- 02:56, 14 September 2025 P:1797 (hist | edit) [2,784 bytes] Andrei.Horvat (talk | contribs) (Created page with "'''P:1797 (Simona Cosma)''' ''Pentru cei <math>24</math> de elevi ai unei clase se confecționează ținuta școlară, constând din sarafan pentru fete și veste pentru băieți. Pentru <math>8</math> sarafane și <math>4</math> veste sunt necesari <math>20</math>m de stofă, iar pentru <math>10</math> sarafane și <math>12</math> veste sunt necesari <math>32</math>m de stofă. Aflați câți metri de stofă sunt necesari pentru confecționarea ținutei școlare pentru...")
- 17:25, 20 August 2025 E:16910 (hist | edit) [1,002 bytes] Andrei.Horvat (talk | contribs) (Created page with "'''E:16910 (Teodora Zetea & Bogdan Zetea)''' ''Aflați soluțiile întregi ale ecuației <math>x^4 + 4y^4 = 3796.</math>'' '''Soluție''' Cum <math>x^4 + 4y^4 = \left(x^2+2y^2\right)^2 - 4x^2y^2 = \left(x^2+2y^2-2xy\right)\left(x^2 + 2y^2 +2xy\right)</math>, ecuația dată revine la <math>\left(x^2+2y^2-2xy\right)\left(x^2 + 2y^2 +2xy\right) = 3796</math> Din <math>2y^2-2xy\, \vdots \, 2</math> și <math>2y^2+2xy\, \vdots \, 2</math> se deduce că expresiile pozi...")
- 15:30, 20 August 2025 E:16901 (hist | edit) [435 bytes] Andrei.Horvat (talk | contribs) (Created page with "'''E:16901 (Călin Hossu)''' ''Determinați numărul natural pentru care are loc egalitatea <math>x\sqrt{x} + x^2 = 30758</math>.'' '''Soluție''' Dacă <math>\sqrt{x}=a</math>, atunci ecuația devine <math display="block">a^2\cdot a + \left(a^2\right)^2=30758,</math>ceea ce este echivalent cu <math display="block">a^3\left(a+1\right) = 30758 = 13^3\cdot 14.</math>Deci <math> a= 13</math>, cea ce implică <math>x=169</math>.") Tag: Visual edit
- 15:17, 20 August 2025 E:16902 (hist | edit) [743 bytes] Andrei.Horvat (talk | contribs) (Created page with "'''E:16902 (Melania-Iulia Dobrican)''' ''Fie numerele reale pozitive <math>x</math>, <math>y</math>, cu <math>xy=4</math>. Arătaţi că <math>\frac{1}{x+4} + \frac{1}{y+4} \le \frac{1}{3}.</math> '' '''Soluție''' Avem echivalenţele <math>\frac{1}{x+4} + \frac{1}{y+4} \le \frac{1}{3} \Leftrightarrow 3y+12+3x+12 \le xy+4x+4y+16 \Leftrightarrow x+y\ge 8-xy./<math> Cum <math>xy=4</math>, rezultă <math>x+y \ge 4</math>. Au loc echivalenţele <math>x+y \ge 4 \Leftri...")
- 16:20, 19 August 2025 S:E15.208-sol2 (hist | edit) [2,188 bytes] Andrei.Horvat (talk | contribs) (Created page with "'''S:E15.208 (Angela Lopată)''' ''Determinați toate numerele naturale consecutive care au suma <math>2015</math>.'' '''Soluția 2.''' Fie <math>N\in \mathbb{N}\setminus\left\{0,1\right\}</math> numărul de termeni ai sumei. Cum suma a <math>4n</math> numere consecutive este un număr par, iar <math>2015</math> este număr impar, deducem că <math>4 \nmid N</math>. Pentru <math>N=4n+2</math>, cu <math>n\in\mathbb{N}</math>, suma se poate scrie <math display="block"...")
- 15:05, 19 August 2025 E:16899 (hist | edit) [2,082 bytes] Andrei.Horvat (talk | contribs) (Created page with "'''E:16899 (Angela Lopată)''' ''Fie <math>ABC</math> un triunghi pentru care lungimea proiecţiei laturii <math>AB</math> pe dreapta <math>BC</math> este mai mare decât lungimea segmentului <math>\left[AC\right]</math>. considerăm punctele <math>M</math>, <math>N</math> pe laturile <math>\left(BC\right)</math>, respectiv <math>\left(AC\right)</math> astfel încât <math>BM = CN</math>. Fie punctul <math>P</math> astfel încât <math>NM = MP</math>, punctele <math...")
- 14:18, 17 August 2025 P:1794 (hist | edit) [1,837 bytes] Andrei.Horvat (talk | contribs) (Created page with "'''P:1794 (Florin Bojor)''' ''Suma a trei numere este <math>182</math>. Aflați cele trei numere, știind că jumătatea primului număr, treimea celui de-al doilea și pătrimea celui de-al treilea număr sunt trei numere consecutive în ordine crescătoare.'' '''Soluție'''") Tag: Visual edit
- 14:06, 17 August 2025 P:1793 (hist | edit) [1,305 bytes] Andrei.Horvat (talk | contribs) (Created page with "'''P:1793 (Ioana Roman)]]''' ''Determinați cel mai mic număr de forma <math>\overline{abcd}</math> pentru care are loc egalitatea <math>1+\overline{abcd}= 88 \times \overline{cd}</math>.'' '''Soluție''' Egalitatea din enunț se scrie în mod echivalent <math>1+\overline{ab} \times 100 + \overline{cd}= 88 \times \overline{cd}</math>, ceea ce conduce la <math display="block">\overline{ab01}= 87 \times \overline{cd}</math>. Cum doar produsul <math>7 \times 3</math>...")
- 12:19, 16 August 2025 P:1792 (hist | edit) [1,190 bytes] Andrei.Horvat (talk | contribs) (Created page with "'''P:1792 (Monica Dragoș)''' ''Determinați numărul natural <math>\overline{ab}</math> pentru care <math>a \times \overline{b00b} + \overline{aa} = 2024</math>.'' '''Soluție''' Evident, cifrele <math>a</math> și <math>b</math> sunt diferite de <math>0</math>. Din <math>\overline{b00b} < 2024</math> se obține <math>b\le2</math>, deci cifra <math>b</math> poate lua valorile <math>1</math> sau <math>2</math>. Egalitatea din enunț se poate scrie în forma echivale...")
- 07:46, 5 August 2025 28867 (hist | edit) [2,304 bytes] Andrei.Horvat (talk | contribs) (Created page with "'''28867 (Natalia Fărcaș)''' ''Fie funcția injectivă <math>f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}</math>, cu proprietatea că există numerele reale <math>a</math> și <math>b</math> astfel încât <math>f\left(x\right) \cdot f\left(1-x\right) = f\left(ax+b\right)</math> oricare ar fi <math>x\in \mathbb{R}</math>. # Demonstrați că <math>f\left(1-b\right)=1</math>. # Dați un exemplu de șir <math> \left(f_n\right)_{n\ge 1}</math> de funcții injective <math>f_n:\mathb...")
- 07:42, 4 August 2025 28868 (hist | edit) [4,152 bytes] Andrei.Horvat (talk | contribs) (problema 28868) Tag: Visual edit