Gazeta matematică 2022

Gazeta Matematică 1/2022

28247 (Florin Bojor)

Fie matricele $A,B\in {\mathcal {M}}_{3}(\mathbb {C} ),$ care verifică simultan condițiile:

1. $AB=BA;$
2. matricea $A$ este nilpotentă și matricea $B$ este inversabilă.
   Arătați că ecuația $AX+XA=B$ nu are soluții în ${\mathcal {M}}_{3}(\mathbb {C} )$.

28250 (Codruț-Sorin Zmicală)

Calculați

$$\lim _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{\int _{0}^{1}({\sqrt {x}}+x^{n}}})^{n}dx.$$

28251 (Gheorghe Boroica)

Fie $(n\geq 2)$ un număr natural și $f:[0,1]\longrightarrow \mathbb {R}$ o funcție continuă astfel încât $f(0)\geq 0$ și $\int _{0}^{1}e^{2f(x)}dx=1+{\frac {2}{n^{3}}}$.
a) Dați un exemplu de o funcție $f$ cu proprietățile din enunț.
b) Arătați că există $c\in [0,1]$ astfel încât $f(c)=c^{n^{3}-1}$.

Gazeta Matematică 2/2022

E:16203 (Dana Heuberger)

Fie triunghiul $BCD$ dreptunghic în $D$, cu $\sphericalangle CBD=90^{\circ }$. Se consideră punctul $M$ astfel încât semidreapta $CD$ este bisectoarea $\sphericalangle BCM$ și $MD\bot BC$. Fie punctul $L$ astfel încât $B$ se află pe segmentul $ML$ și $BM=2BL$. Notăm cu $F$ simetricul lui $D$ față de $B$. Arătați că

a) $MB=CF$

b) $\sphericalangle BDL=\sphericalangle BMD$

28260 (Dana Heuberger)

Fie triunghiul echilateral $ABC$ înscris în cercul de centru $O$ și rază $1$. Considerăm mulțimea ${\mathcal {M}}$ a punctelor $X$ din plan cu proprietatea că ${\overrightarrow {OX}}=k\cdot {\overrightarrow {OA}}+m\cdot {\overrightarrow {OB}}+n\cdot {\overrightarrow {OC}}$, unde $k,m,n\in N^{*}$. Arătați că oricare ar fi punctele distincte $M,N,P\in {\mathcal {M}}$ există $Q\in {\mathcal {M}}$ astfel încât vectorii ${\overrightarrow {MN}}$, ${\overrightarrow {PQ}}$ și ${\overrightarrow {NM}}+$ ${\overrightarrow {QP}}$ să formeze un triunghi echilateral.

Supliment

S:L22.58 (Vasile Giurgi)

Determinați $a\in \mathbb {R}$ pentru care ecuația

$${\frac {x^{\lg x}}{10^{a}}}+\lg ^{2}x=x+\lg x+a$$

are o soluție unică în $\mathbb {R}$.

Gazeta Matematică 3/2022

S:L22.108. (Nicolae Mușuroia)

Fie $A,B\in {\mathcal {M}}_{3}\left(\mathbb {R} \right)$ cu $AB=BA$, $A^{2}+B^{2}$ neinversabilă și $\det(A)=\alpha \cdot \det(B)\neq 0$, unde $\alpha \neq 1$. Arătați că

$${\frac {\det \left(A+B\right)}{\det \left(A+B\right)}}={\frac {\det(A)+\det(B)}{\det(A)-\det(B)}}.$$

Gazeta Matematică 4/2022

28315 (Vasile Pop și Nicolae Mușuroia)

Fie $P_{1}P_{2}\ldots P_{n}$ $(n\geq 3)$ un poligon regulat și $M$ un punct în interiorul poligonului. Notăm cu $M_{1}$, $M_{2},\ldots ,M_{n}$ simetricele punctului $M$ față de laturile poligonului. Arătați că, pentru orice alegere a punctului $M$, poligoanele $M_{1}$$M_{2}\ldots M_{n}$ au același centru de greutate.

Supliment

S:E22.136 (Cristina Vijdeluc, Mihai Vijdeluc)

Aflați numerele $n$, $p$ natuarale neule pentru care $2n^{2}=253\cdot \left(p!+2022\right)$, unde $p!=1\cdot 2\cdot 3\cdot \ldots \cdot p$.

Gazeta Matematică 5/2022

28338 (Nicolae Muşuroia)

Fie $M$ un punct în planul triunghiului $ABC$ iar $A_{1},B_{1},C_{1}$ simetricele punctului $M$ față de mijloacele laturilor $BC,AC,$ respectiv $AB$.

a) Arătați că dreptele $AA_{1},BB_{1},CC_{1}$ sunt concurente într-un punct $N$.

b) Arătați că punctele $M,G,N$ sunt coliniare și că ${\frac {MG}{GN}}$ $=2,$ unde $G$ este centrul de greutate al triunghiului $ABC$.

Gazeta Matematică 6-7-8/2022

28354 (Florin Bojor)

Fie $O$ punctul de intersecție a diagonalelor patrulaterului convex $ABCD$ și punctele $E$, $F$, $G$ și $H$ situate pe segmentele $OA$, $OB$, $OC$, respectiv $OD$, astfel încât $AE=BF=CG=DH$. Notăm cu $I$, $J$, $K$ și $L$ mijloacele segmentelor $AB$, $BC$, $CD$, respectiv $DA$ și cu $M$, $N$, $P$ și $Q$ mijloacele segmentelor $EF$, $FG$, $GH$, respectiv $HE$. Arătați că:

1. punctele $I$,$M$ și $K$ sunt coliniare dacă și numai dacă $AC=BD$.
2. $AC\not =BD$, punctele de intersecție ale dreptelor $IM$,$NJ$,$PK$ și $LQ$ sunt vârfurile unui dreptunghi.

Gazeta Matematică 9/2022

28405 (Dana Heuberger)

Fie triunghiul $ABC$ înscris în cercul de centru $O$ și rază $r$. Notăm cu $D$, $E$ și $F$ mijloacele arcelor mici $BC$, $CA$, respectiv $AB$ ale cercului, și cu $M$, $N$, $P$ punctele de intersecție ale dreptelor $AF$ și $CE$, $AF$ și $BD$, respectiv $BD$ și $CE$. Dacă ${\vec {MA}}+{\vec {NB}}+{\vec {PC}}={\vec {0}}$ și ${\vec {ME}}+{\vec {NF}}+{\vec {PD}}={\vec {0}},$ arătați că triunghiul $ABC$ este echilateral.

Gazeta Matematică 10/2022

E:16379 (Cristina Vijdeluc, Salonic şi Mihai Vijdeluc, Baia Mare)

Aflaţi numărul natural ${\overline {ab}}$, cu cifre distincte, pentru care $({\overline {ab}}-{\overline {ba}}):(a-b)={\overline {bb}}\cdot {\overline {ba}}-2015.$

E:16380 (Cristina Vijdeluc, Salonic şi Mihai Vijdeluc, Baia Mare)

Aflaţi numerele naturale $a,b,c,d$ pentru care are loc relaţia $2(3^{a+1}+3^{b+1}+3^{c+1})=3\cdot 6\cdot 9\cdot \ldots \cdot d.$

E:16382 (Cristina Vijdeluc și Mihai Vijdeluc)

Afișați numerele întregi pozitive ${\overline {abcd}}$ cu proprietatea $a^{7}+a^{b}+a^{c}+a^{d}={\overline {a000}}.$

E:16393 (Cristina Vijdeluc și Mihai Vijdeluc)

Determinați numerele naturale nenule $n$ pentru care numărul $a(n)={\sqrt {(1\cdot 2\cdot 3\cdots n)^{5}+145}}$ este natural.

E:16402 (Cristina Vijdeluc și Mihai Vijdeluc)

Fie $n\in \mathbb {N} ^{*}$ și numerele pozitive $x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}$ care verifică relația ${\frac {1}{x_{1}}}+{\frac {1}{x_{2}}}+\dots +{\frac {1}{x_{n}}}={\frac {n}{n+1}}.$

Arătați că ${\frac {1}{x_{1}+2}}+{\frac {1}{x_{2}+6}}+\dots +{\frac {1}{x_{n}+n(n+1)}}\leq {\frac {n}{2(n+1)}}.$

28437 (Nicolae Mușuroaia)

Fie șirul $(a_{n})_{n\geq 1}$ cu termenii strict pozitivi, dat de relația $a_{n+1}=\ln(a_{1}+a_{2}+...+a_{n}),n\geq 1.$ Determinați $\lim _{n\to \infty }\left({\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}-1\right)\cdot e^{a_{n}}.$

Gazeta Matematică 11/2022

E:16407 (Cristina Vijdeluc și Mihai Vijdeluc)

Aflați cifrele nenule $a$ și $b$ pentru care $a+10\cdot (a+b)^{3}={\overline {baba}}.$

28450 (Nicolae Mușuroia)

Fie $n\in$ ℕ, $n\geq 4$ și $p\in \{1,2,...,[n/2]\}.$ Considerăm mulțimile disjuncte $A=\{a_{1},a_{2},...,a_{n}\}$ și $B=\{b_{1},b_{2},...,b_{n}\}$, formate din primii $n$ termeni a două progresii aritmetice $(a_{k})_{k\geq 1}$ și $(b_{k})_{k\geq 1}$ cu rații opuse, nenule. Arătați că printre orice $n+p+1$ elemente distincte ale mulțimii $A\cup B$ există două a căror sumă este egală cu $a_{2p}+b_{p}.$