E:16203
E:16203 (Dana Heuberger)
Fie triunghiul dreptunghic în , cu . Se consideră punctul Nu s-a putut interpreta (MathML cu fallback pe SVG sau PNG (recomandat pentru browserele moderne și uneltele de accesibilitate): Răspuns incorect („Math extension cannot connect to Restbase.”) de la serverul „https://wikimedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle M} astfel încât semidreapta este bisectoarea și . Fie punctul astfel încât Nu s-a putut interpreta (MathML cu fallback pe SVG sau PNG (recomandat pentru browserele moderne și uneltele de accesibilitate): Răspuns incorect („Math extension cannot connect to Restbase.”) de la serverul „https://wikimedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle B} se află pe segmentul și . Notăm cu simetricul lui față de . Arătați că
a)
b)
Soluție:
Fie . Atunci triunghiul este echilateral. Notăm . Deoarece este înălțime a triunghiului echilateral Nu s-a putut interpreta (MathML cu fallback pe SVG sau PNG (recomandat pentru browserele moderne și uneltele de accesibilitate): Răspuns incorect („Math extension cannot connect to Restbase.”) de la serverul „https://wikimedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle ABC} , rezultă că este și bisectoare a .
Fie . Se arată ușor că Nu s-a putut interpreta (MathML cu fallback pe SVG sau PNG (recomandat pentru browserele moderne și uneltele de accesibilitate): Răspuns incorect („Math extension cannot connect to Restbase.”) de la serverul „https://wikimedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle BE= \frac{a}{4}} , deci . Din triunghiul dreptunghic rezultă că , așadar .
a) Avem , și , deci triunghiurile și sunt congruente, așadar Nu s-a putut interpreta (MathML cu fallback pe SVG sau PNG (recomandat pentru browserele moderne și uneltele de accesibilitate): Răspuns incorect („Math extension cannot connect to Restbase.”) de la serverul „https://wikimedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle MB=CF} .
b) Triunghiurile și sunt congruente, de unde obținem că . Rezultă că .
Deoarece , iar Nu s-a putut interpreta (MathML cu fallback pe SVG sau PNG (recomandat pentru browserele moderne și uneltele de accesibilitate): Răspuns incorect („Math extension cannot connect to Restbase.”) de la serverul „https://wikimedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle \sphericalangle MBA = \sphericalangle LBF} , rezulră că triunghiurile și sunt asemenea, deci . Folosind secanta , deducem că ungiurile alterne interne și sunt congruente, așadar . Din rezultă că .
Cum și , rezultă că , așadar . Din rezultă că este un patrulater inscriptibil, deci . Deoarece , rezultă , deci .