28260

28260 (Dana Heuberger)

Enunț

Fie triunghiul echilateral Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle ABC} înscris în cercul de centru Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle O} și rază Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 1} . Considerăm mulțimea Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathcal{M}} a punctelor Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle X} din plan cu proprietatea că Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \overrightarrow{OX} = k \cdot \overrightarrow{OA} + m \cdot \overrightarrow{OB} + n \cdot \overrightarrow{OC}} , unde $k,m,n\in N^{*}$. Arătați că oricare ar fi punctele distincte $M,N,P\in {\mathcal {M}}$ există $Q\in {\mathcal {M}}$ astfel încât vectorii ${\overrightarrow {MN}}$, ${\overrightarrow {PQ}}$ și ${\overrightarrow {NM}}+$ ${\overrightarrow {QP}}$ să formeze un triunghi echilateral.

Soluție

Formăm în plan o rețea de triunghiuri echilaterale ale căror vârfuri se află pe drepte paralele echidistante, având direcțiile dreptelor $OA$, $OB$ și $OC$, distanța ditre două drepte consecutive fiind de ${\sqrt {3}}$. Cum ${\overrightarrow {OC}}$ = $-{\overrightarrow {OA}}-{\overrightarrow {OB}}$ obținem că $X\in {\mathcal {M}}$ dacă și numai dacă există $p,q\in \mathbb {Z}$, astfel încât ${\overrightarrow {OX}}=p\cdot {\overrightarrow {OA}}+q\cdot {\overrightarrow {OB}}$.

Analog, coordonatele lui ${\overrightarrow {OX}}$ în baza $({\overrightarrow {OB}},\,{\overrightarrow {OC}})$, precum și cele din baza $({\overrightarrow {OA}},\,{\overrightarrow {OC}})$ sunt întregi. De aici rezultă ușor că ${\mathcal {M}}$ este mulțimea tuturor vârfurilor rețelei.

Alegem punctele $M,N,P\in {\mathcal {M}}$. Dacă vectorul ${\overrightarrow {MN}}$ este paralel cu unul dintre vectorii ${\overrightarrow {OA}}$, ${\overrightarrow {OB}}$, ${\overrightarrow {OC}}$, atunci problema este evidentă. Dacă ${\overrightarrow {MN}}$ nu este paralel cu niciunul dintre vectorii ${\overrightarrow {OA}}$, ${\overrightarrow {OB}}$, ${\overrightarrow {OC}}$, atunci fie $a,b\in \mathbb {Z} ^{*}$ coordonatele vectorului ${\overrightarrow {MN}}$ în baza $({\overrightarrow {OA}},{\overrightarrow {OB}})$ și punctele $S,T,R$ astfel încât ${\overrightarrow {SN}}=a\cdot {\overrightarrow {OA}}$, ${\overrightarrow {MS}}=b\cdot {\overrightarrow {OB}}$, ${\overrightarrow {NR}}=a\cdot {\overrightarrow {OC}}$ și ${\overrightarrow {RT}}=b\cdot {\overrightarrow {OA}}$. Rezultă ${\overrightarrow {MN}}=a\cdot {\overrightarrow {OA}}+b\cdot {\overrightarrow {OB}}$ și ${\overrightarrow {NT}}=a\cdot {\overrightarrow {OC}}+b\cdot {\overrightarrow {OA}}$.

Dacă $a\cdot b>0$, atunci $m(\sphericalangle MSN)=m(\sphericalangle TRN)=60^{\circ }$, iar dacă $a\cdot b<0$, atunci $m(\sphericalangle MSN)=m(\sphericalangle TRN)=120^{\circ }$. Cum Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle MS = RT = |b|} , iar Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle SN = NR = |a|} , rezultă că triunghiurile Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle MNS} și Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle TNR} sunt congruente, deci Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle TN = MN } și Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle m(\sphericalangle MSN) = m(\sphericalangle TRN)} . Întrucât Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle m(\sphericalangle SNR) = 60^\circ} , obținem și Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle m(\sphericalangle MNT) = 60^\circ} , deci triunghiul Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle MNT} este echilateral. Este suficient să alegem punctul Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle Q} astfel încât Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \overrightarrow{PQ} = \overrightarrow{NT}} și problema este rezolvată.

Remarcă: De fapt, triunghiul Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle TNR} este imaginea triunghiului Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle MNS} prin rotația de centru Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle N} și unghi de Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 60^\circ} .