Gazeta matematică 2018

Gazeta Matematică 1/2018

Supliment

S:P18.12 (Vasile Berinde)

Reconstituiți înmulțirea Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \overline{abc} \times 3 = \overline{bcc}} .

Gazeta Matematică 2/2018

E:15310 (Cristina Vijdeluc și Mihai Vijdeluc)

Arătați că nu există numere naturale Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle p} și Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle q} astfel încât să fie adevărată relația Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle p^2 - 2018 = 2^q} .

E:15313 (Cristina Vijdeluc și Mihai Vijdeluc)

Determinați cifra Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a} pentru care fracția Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{a^2 \cdot \overline{aa} + a^2(a^2+1)}{\overline{202a}}} este echiunitară.

E:15314 (Cristina Vijdeluc și Mihai Vijdeluc)

Determinați numerele naturale Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle m} și $n$ pentru care este adevărată relația Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 2018^{m}=8^{n}+2010} .

E:15316 (Cristina Vijdeluc și Mihai Vijdeluc)

Determinați numărul prim Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle p} și numărul natural Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle q} astfel încât Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle p^{2} + 5^{p} + 31 = 3181^{q}.}

E:15323 (Cristina Vijdeluc și Mihai Vijdeluc)

Arătați că există o infinitate de numere naturale diferite $a$ și Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle b} pentru care Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 4a^2 - 2022ab + 2018b^2 = 0} .

E:15324 (Cristina Vijdeluc și Mihai Vijdeluc)

Determinați cifrele nenule $x$ și Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle y} pentru care Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{y^3}{x^3} - \frac{\overline{xy}}{x} = 2\left(\frac{\overline{xy}}{x} - 16\right)} .

E:15325 (Cristina Vijdeluc și Mihai Vijdeluc, Baia Mare) Determinați numerele naturale Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \overline{abcd}} pentru care: Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{\sqrt{d+2 \cdot \overline{abc}}}{\overline{d0}} = \frac{\sqrt{3 \cdot \overline{abc}}}{\overline{abc}}}

E:15310 (Cristina Vijdeluc și Mihai Vijdeluc, Baia Mare)

Arătați că nu există numere naturale Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle p} și Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle q} astfel încât să fie adevărată relația Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle p^2 - 2018 = 2^q} .

E:15313 (Cristina Vijdeluc și Mihai Vijdeluc, Baia Mare)

Determinați cifra Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a} pentru care fracția Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{a^2 \cdot \overline{aa} + a^2(a^2+1)}{\overline{202a}}} este echiunitară.

Gazeta Matematică 3/2018

E:15326 (Andreea Bogdanovici)

Determinați numerele naturale Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a,b,c} pentru care este adevărată relația Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{37}{10}=a+\frac{1}{b+\frac{1}{c+\frac{1}{3}}}} .

Gazeta Matematică 4/2018

E:15344 (Teodora Zetea și Bogdan Zetea)

Un număr se numește primial dacă este format din cifre prime, distincte.

a) Câte numere primiale de trei cifre există?

b) Arătați că suma tuturor numerelor primiale nu este un pătrat perfect.

E:15345 (Călin Dănuț Hossu)

Determinați numerele ${\overline {xyz}}$ , scrise în baza Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 10} , știind că Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x^{y+z} + x^y + x^z - 584 = 0} .

E:15346 (Mihai Vijdeluc și Vasile Ienuțaș, Baia Mare)

a) Calculați Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 1^3 + 1^3 + 5^3 + 6^3 - 7^3} .

b) Arătați că Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 5^{2018}+6^{2018}<7^{2018}}

E:15347 (Meda Bojor)

Determinați numerele prime Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle p, q, r, s} pentru care este adevărată relația Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle p \cdot q \cdot r \cdot s = 26(p + q + r + s)} .

E:15348 (Gheorghe Boroica)

Determinați valorile naturale ale numărului Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a} pentru care există Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x, y \in \mathbb{N}^*} astfel încât Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x^3 + 2y^3 = a \cdot (2x^2y + xy^2)} .

Supliment

S:E18.122 (Florin Bojor)

Verificați dacă numărul Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a={1^{{{3}^{{{5}^{{{\cdots}^{2019}}}}}}}}+{3^{{{5}^{{{7}^{{{\cdots}^{2019}}}}}}}}+{5^{{{7}^{{{9}^{{{\cdots}^{2019}}}}}}}}+\ldots +{2017^{2019}}+2019} este divizibil cu Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 10} .

S:E18.127 (Nicolae Mușuroia)

Un copil se joacă. În prima etapă, scrie un număr pe tablă. La fiecare dintre etapele următoare, înlocuiește numărul de pe tablă cu un altul, obținut după una dintre următoarele reguli: sau scrie dublul numărului, sau scrie numărul obținut prin înlocuirea ultimei cifre a numărului cu  ultima cifră a cubului acestuia. Știind că se pornește de la numărul $18$, stabiliți dacă

a) se poate ajunge la numărul Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 78} ;

b) se poate ajunge la numărul Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 2018} .

S:E18.128 (Vasile Ienuțaș)

Scrieți numărul Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 2018^{2017}} ca sumă de patru pătrate perfecte nenule distincte.

S:E18.129 (Ioan-Iulian Bunu)

Determinați numerele prime Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a, b, c} din egalitatea Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 5a^6+13b^2+5^c=2018} .

S:E18.130 (Traian Covaciu)

a) Determinați numerele prime $x,y,z$ astfel încât Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 8x+9y+60z=1918} .

b) Aflați numerele naturale Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x,y,z} astfel încât Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 20x+208y+209z=2018} .

S:E18.131 (Nicolae Mușuroia)

Determinați cel mai mic număr natural pătrat perfect care se poate scrie ca sumă de 2018 numere naturale consecutive.

S:E18.154 (Nicolae Mușuroia)

Fie Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a,b,c \in \mathbb{Z}} cu Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle b^{2}+c^{2}=a^{2}} . Arătați că pentru orice Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle n\in \mathbb{N}^{*}} , ecuația Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x^{2}+2a^{n}x+b^{2n}+c^{2n}=0} are soluții reale.

Gazeta Matematică 9/2018

E:15414 (Cristina Vijdeluc și Mihai Vijdeluc)

Aflați numerele prime Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a, b, c, d} pentru care Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 29a^5 + 39b^2 + 38c + 20d = 2019} .