Gazeta matematică 2018

Gazeta Matematică 1/2018

Supliment

S:P18.12 (Vasile Berinde)

Reconstituiți înmulțirea ${\overline {abc}}\times 3={\overline {bcc}}$.

Gazeta Matematică 2/2018

E:15310 (Cristina Vijdeluc și Mihai Vijdeluc)

Arătați că nu există numere naturale $p$ și $q$ astfel încât să fie adevărată relația $p^{2}-2018=2^{q}$.

E:15313 (Cristina Vijdeluc și Mihai Vijdeluc)

Determinați cifra $a$ pentru care fracția ${\frac {a^{2}\cdot {\overline {aa}}+a^{2}(a^{2}+1)}{\overline {202a}}}$ este echiunitară.

E:15314 (Cristina Vijdeluc și Mihai Vijdeluc)

Determinați numerele naturale $m$ și $n$ pentru care este adevărată relația $2018^{m}=8^{n}+2010$.

E:15316 (Cristina Vijdeluc și Mihai Vijdeluc)

Determinați numărul prim $p$ și numărul natural $q$ astfel încât $p^{2}+5^{p}+31=3181^{q}.$

E:15323 (Cristina Vijdeluc și Mihai Vijdeluc)

Arătați că există o infinitate de numere naturale diferite $a$ și $b$ pentru care $4a^{2}-2022ab+2018b^{2}=0$.

E:15324 (Cristina Vijdeluc și Mihai Vijdeluc)

Determinați cifrele nenule $x$ și $y$ pentru care ${\frac {y^{3}}{x^{3}}}-{\frac {\overline {xy}}{x}}=2\left({\frac {\overline {xy}}{x}}-16\right)$.

E:15325 (Cristina Vijdeluc și Mihai Vijdeluc, Baia Mare) Determinați numerele naturale ${\overline {abcd}}$ pentru care:

$${\frac {\sqrt {d+2\cdot {\overline {abc}}}}{\overline {d0}}}={\frac {\sqrt {3\cdot {\overline {abc}}}}{\overline {abc}}}$$

E:15310 (Cristina Vijdeluc și Mihai Vijdeluc, Baia Mare)

Arătați că nu există numere naturale $p$ și $q$ astfel încât să fie adevărată relația $p^{2}-2018=2^{q}$.

E:15313 (Cristina Vijdeluc și Mihai Vijdeluc, Baia Mare)

Determinați cifra $a$ pentru care fracția ${\frac {a^{2}\cdot {\overline {aa}}+a^{2}(a^{2}+1)}{\overline {202a}}}$ este echiunitară.

Gazeta Matematică 3/2018

E:15326 (Andreea Bogdanovici)

Determinați numerele naturale $a,b,c$ pentru care este adevărată relația ${\frac {37}{10}}=a+{\frac {1}{b+{\frac {1}{c+{\frac {1}{3}}}}}}$.

Gazeta Matematică 4/2018

E:15344 (Teodora Zetea și Bogdan Zetea)

Un număr se numește primial dacă este format din cifre prime, distincte.

a) Câte numere primiale de trei cifre există?

b) Arătați că suma tuturor numerelor primiale nu este un pătrat perfect.

E:15345 (Călin Dănuț Hossu)

Determinați numerele ${\overline {xyz}}$ , scrise în baza $10$, știind că $x^{y+z}+x^{y}+x^{z}-584=0$.

E:15347 (Meda Bojor)

Determinați numerele prime $p,q,r,s$ pentru care este adevărată relația $p\cdot q\cdot r\cdot s=26(p+q+r+s)$.

E:15348 (Gheorghe Boroica)

Determinați valorile naturale ale numărului $a$ pentru care există $x,y\in \mathbb {N} ^{*}$ astfel încât $x^{3}+2y^{3}=a\cdot (2x^{2}y+xy^{2})$.

Supliment

S:E18.127 (Nicolae Mușuroia)

Un copil se joacă. În prima etapă, scrie un număr pe tablă. La fiecare dintre etapele următoare, înlocuiește numărul de pe tablă cu un altul, obținut după una dintre următoarele reguli: sau scrie dublul numărului, sau scrie numărul obținut prin înlocuirea ultimei cifre a numărului cu  ultima cifră a cubului acestuia. Știind că se pornește de la numărul $18$, stabiliți dacă

a) se poate ajunge la numărul $78$;

b) se poate ajunge la numărul $2018$.

S:E18.128 (Vasile Ienuțaș)

Scrieți numărul $2018^{2017}$ ca sumă de patru pătrate perfecte nenule distincte.

S:E18.129 (Ioan-Iulian Bunu)

Determinați numerele prime $a,b,c$ din egalitatea $5a^{6}+13b^{2}+5^{c}=2018$.

S:E18.130 (Traian Covaciu)

a) Determinați numerele prime $x,y,z$ astfel încât $8x+9y+60z=1918$.

b) Aflați numerele naturale $x,y,z$ astfel încât $20x+208y+209z=2018$.

S:E18.131 (Nicolae Mușuroia)

Determinați cel mai mic număr natural pătrat perfect care se poate scrie ca sumă de 2018 numere naturale consecutive.

S:E18.154 (Nicolae Mușuroia)

Fie $a,b,c\in \mathbb {Z}$ cu $b^{2}+c^{2}=a^{2}$. Arătați că pentru orice $n\in \mathbb {N} ^{*}$, ecuația $x^{2}+2a^{n}x+b^{2n}+c^{2n}=0$ are soluții reale.