Gazeta matematică 2024

Gazeta Matematică 5/2024

Ciclul primar

P:1791 (Vraja-Lőkös Éva-Ibolya)

Suma a două numere naturale, pare, consecutive este Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 90} . Aflați produsul acestor numere.

P:1792 (Monica Dragoș)

Determinați numărul natural Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \overline{ab}} pentru care Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a \times \overline{b00b} + \overline{aa} = 2024} .

P:1793 (Ioana Roman)

Determinați cel mai mic număr de forma ${\overline {abcd}}$ pentru care are loc egalitatea $1+{\overline {abcd}}=88\times {\overline {cd}}$.

P:1794 (Florin Bojor)

Suma a trei numere este $182$. Aflați cele trei numere, știind că jumătatea primului număr, treimea celui de-al doilea și pătrimea celui de-al treilea număr sunt trei numere consecutive în ordine crescătoare.

P:1795 (Gheorghe Boroica)

Numărul $42$ se scrie ca și produsul a $2025$ numere naturale. Determinați suma minimă a tuturor factorilor acestui produs.

P:1796 (Mariana Pop)

Un grup de elevi pornește în drumeție din orașul Târgu Lăpuș și ajunge după cinci ore pe Vârful Țibleș. Distanța de $42$ de kilometri a fost parcursă de grupul de elevi cu bicicletele, mergând cu o viteză de $10$ km/h, iar pe jos cu o viteză de $2$ km/h. Aflați câți kilometri au fost parcurși cu bicicletele și câți kilometri au fost parcurși pe jos.

P:1797 (Simona Cosma)

Pentru cei $24$ de elevi ai unei clase se confecționează ținuta școlară, constând din sarafan pentru fete și veste pentru băieți. Pentru $8$ sarafane și $4$ veste sunt necesari $20$m de stofă, iar pentru $10$ sarafane și $12$ veste sunt necesari $32$m de stofă. Aflați câți metri de stofă sunt necesari pentru confecționarea ținutei școlare pentru toți elevii clasei, știind că numărul fetelor este cu $2$ mai mare decât cel al băieților.

P:1798 (Andreea Budea)

De ziua ei, Miruna are cinci invitați pentru care a pregătit un coșuleț în care a pus de trei ori mai multe bomboane decât acadele. Fiecare invitat a luat din coșuleț câte o bomboană și câte o acadea. Astfel, în coșuleț au rămas de patru ori mai puține acadele decât bomboane. Aflați câte bomboane și câte acadele au fost la început în coșulețul pregătit de Miruna.

P:1799 (Nicolae Mușuroia)

La un test Ana rezolvă $5$ probleme și $3$ exerciții și obține $75$ de puncte. La același test, Dan a obținut $75$ de puncte pentru rezolvarea a $4$ probleme și $5$ exerciții. Se știe că punctajul maxim care poate fi obținut este $100$ de puncte, dintre care $10$ puncte sunt acordate din oficiu. Aflați câte puncte valorează o problemă și câte puncte valorează un exercițiu.

P:1800 (Ioan Ovidiu Pop, Coroieni)

Aflați numărul de telefon ${\overline {07abcdefgh}}$, format din zece cifre, nu neapărat distincte, pentru care numerele $a+c$, $b+c$, $d+e$, $c+d$, $a+b+e$, $c+d+f$, $b+c+g$ și $d+e+h$ sunt opt numere consecutive așezate în ordine crescătoare.

Clasa a V-a

E:16887 (Gheorghe Boroica)

Suma a $90$ de numere naturale este $2069$. Arătați că există, printre acestea, cel puțin trei numere egale.

E:16888 (Gheorghe Boroica)

Considerăm $n$ un număr natural nenul. Demonstrați că numărul $N=\underbrace {44\ldots 4} _{n{\text{ cifre}}}\underbrace {22\ldots 2} _{n{\text{ cifre}}}$ poate fi scris ca produsul a două numere naturale consecutive.

E:16889 (Călin Hossu)

Prin împărțirea unui număr de patru cifre la răsturnatul său, se obține câtul $2$ și restul $1977$. Aflați numărul, știind că diferența dintre cifra miilor și cifra unităților este $5$, iar cifra sutelor este cu $4$ mai mare decât cifra zecilor.

E:16890 (Bogdan Zetea, Călin Hossu)

Demonstrați că, pentru orice număr natural nenul $n$, numărul Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 2024^n+n^{2024} + 2} nu este un pătrat perfect.

Clasa a VI-a

E:16899 (Angela Lopată)

Fie Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle ABC} un triunghi pentru care lungimea proiecţiei laturii Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle AB} pe dreapta Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle BC} este mai mare decât lungimea segmentului Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \left[AC\right]} . Considerăm punctele Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle M} , Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle N} pe laturile Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \left(BC\right)} , respectiv Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \left(AC\right)} astfel încât $BM=CN$. Fie punctul $P$ astfel încât Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle NM = MP} , punctele Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle N} și Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle P} sunt de aceeași parte a dreptei Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle BC} , iar distanţa de la punctul Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle P} la dreapta Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle BC} este aceeași cu distanţa de la punctul Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle M} la dreapta Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle AC} . Arătaţi că Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \sphericalangle NMP = \sphericalangle PBM = \sphericalangle MCA} .

Clasa a VII-a

E:16901 (Călin Hossu)

Determinați numărul natural pentru care are loc egalitatea Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x\sqrt{x} + x^2 = 30758} .

E:16902 (Melania-Iulia Dobrican)

Fie numerele reale pozitive Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x} , Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle y} , cu Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle xy=4} . Arătaţi că Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{1}{x+4} + \frac{1}{y+4} \le \frac{1}{3}.}

Clasa a VIII-a

E:16910 (Teodora Zetea & Bogdan Zetea)

Aflați soluțiile întregi ale ecuației Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x^4 + 4y^4 = 3796.}

Clasa a X-a

28867 (Natalia Fărcaș)

Fie funcția injectivă Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}} , cu proprietatea că există numerele reale Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a} și Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle b} astfel încât Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f\left(x\right) \cdot f\left(1-x\right) = f\left(ax+b\right)} oricare ar fi Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x\in \mathbb{R}} .

1. Demonstrați că Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f\left(1-b\right)=1} .
2. Dați un exemplu de șir Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \left(f_n\right)_{n\ge 1}} de funcții injective Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f_n:\mathbb{R} \to \mathbb{R}} , cu proprietatea că există Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a,b \in \mathbb{R}} , astfel încât pentru orice Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x\in \mathbb{R}} , avem Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f_n\left(x\right) \cdot f_n\left(1-x\right) = f_n\left(ax+b\right)} și Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \log_{n+1} f_n\left(x\right) = a - \log_{n+1} f_n\left(-x\right).}

28868 (Andrei Horvat-Marc)

Fie Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle n\in \mathbb{N^\ast}} și funcțiile Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f:\left[0,2n^2+3n\right] \to \left[1,2n+1\right]} , Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f\left(x\right) = \frac{\sqrt{8x+9}-1}{2}} și Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle g:\left[1,2n+1\right] \to \left[0,2n^2+3n\right]} , Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle g\left(x\right) = f^{-1}\left(x\right)} .

Fie punctele Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A\left(2n^2+3n,2n+1\right)} , Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle B\left(2n+1,2n^2+3n\right)} și mulțimea Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle M} a punctelor din plan cuprinse între graficele funcțiilor Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f} și Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle g} și dreapta Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle AB} . Aflați numărul punctelor din Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle M} care au ambele coordonate întregi.