Gazeta matematică 2020

Gazeta matematică 1/2020

27795 (Adrian Boroica și Florin Bojor)

Fie $n$ un număr natural care nu este multiplu de $4$ și $G$ un grup necomutativ de ordin $n$. Să se demonstreze că există două automorfisme ale lui $G$ care au aceleași puncte fixe.

Gazeta matematică 3/2020

E:15678 (Cristina Vijdeluc și Mihai Vijdeluc)

Aflați toate numerele de forma ${\overline {abcd}}$ pentru care

$${\overline {abcd}}=2021+5\left(a-c+b-d+1\right).$$

E:15685 (Cristina Vijdeliuc și Mihai Vijdeliuc)

Se consideră triunghiul dreptunghic $ABC$, cu $\angle A\ =90^{\circ }$ și $\angle B\ =30^{\circ }$. Punctul $D$ aparține laturii $BC$ astfel încât $AD\perp BC$, punctul $M$ este mijlocul segmentului $BC$, iar punctul $E$ aparține laturii $AB$ astfel încât $ME\perp AB$. Arătați că $DE\perp AM$.

Gazeta matematică 4/2020

E:15694 (Traian Covaciu)

Suma a două numere naturale nenule este $2020$. Dacă împărţim primul număr la al doilea, obţinem câtul egal cu restul. Aflaţi cele două numere.

E:15695 (Cristina Vijdeluc şi Mihai Vijdeluc)

Aflaţi numerele de forma ${\overline {ab}},$ ştiind că ${\overline {aaa}}\cdot b+{\overline {bb}}=2020.$

E:15698 (Cristina Vijdeluc și Mihai Vijdeluc, Baia Mare)

Determinați numerele naturale $a$, $b$, $c$ pentru care $\left(2020a\right)^{2}+\left(2021b\right)^{2}=2022c^{2}$.

Gazeta matematică 5/2020

E:15714 (Traian Covaciu)

Se consideră mulțimea numerelor naturale de patru cifre, cifre care, într-o anumită ordine, sunt consecutive. Determinați probabilitatea ca, alegând la întâmplare un număr din această mulțime, acesta să fie divizibil cu 36.

Gazeta matematică 9/2020

Mușuroia, N., Savu, I., Clase de șiruri pentru care termenul general nu se poate reprezenta sub formă rațională

E:15760 (Cristina Vijdeluc și Mihai Vijdeluc, Baia Mare)

Aflați numerele naturale ${\overline {abcd}}$ și $n$ pentru care ${\overline {abcd}}+a+b+c+d=n!.$

E:15761 (Cristina Vijdeluc și Mihai Vijdeluc, Baia Mare)

Aflați numerele naturale ${\overline {ab}}$ pentru care $3^{a}+4b={\overline {ab}}.$

E:15765 (Cristina Vijdeluc și Mihai Vijdeluc, Baia Mare)

Determinați numerele prime $a<b<c<d$ știind că

$$79a+90b+21c+77d=2020.$$

Gazeta matematică 10/2020

E:15777 (Anca Mihiș, Baia Mare)

Arătaţi că numărul natural

$$A=\left(2^{2}\cdot 2^{4}\cdot 2^{6}\cdot \ldots \cdot 2^{2020}\right):\left(2\cdot 2^{3}\cdot 2^{5}\cdot \ldots \cdot 2^{2019}\right).$$

este pătratul unui număr natural.

Gazeta matematică 11/2020

27930 (Nicolae Mușuroia)

Fie $z_{1},z_{2}$ respectiv $z_{3}$, afixele vârfurilor triunghiului Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A_1A_2A_3} , înscris în cercul Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle C(0,1)} . Arătați că triunghiul Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A_1A_2A_3} este echilateral dacă și numai dacă Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (z_1+z_2)(z_2+z_3)(z_3+z_1) \not= 0} și Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{1}{z_1+z_2} + \frac{1}{z_2+z_3} + \frac{1}{z_3+z_1} = 0} .

Supliment

S:E21.313 (Cristina Vijdeluc & Mihai Vijdeluc)

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{x-5}{1013} + \frac{x-7}{1014} + \frac{x-9}{1015} = \frac{x+2009}{6} + \frac{x+2005}{8} + \frac{x+2001}{10}.}

S:L21.287 (Gheorghe Boroica)

Arătați că, pentru orice număr natural Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle n \ge 3} , ecuația Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x^2 + y^2 + z^2 =5^n} are soluții în mulțimea numerelor naturale nenule.