Gazeta matematică 2015

Gazeta Matematică 1/2015

27020 (Gheorghe Szöllösy)

Să se calculeze suma $\sum _{k=0}^{\left[{\frac {n}{2}}\right]}{\frac {1}{4^{k}\cdot (k!)^{2}(n-2k)!}},\quad n\geq 1.$

27022 (Guntter Gotha)

Fie $f:\left[a,b\right]\to \mathbb {R}$ o funcție cu proprietatea lui Darboux și cu $f\left(a\right)\cdot f\left(b\right)>0$. Mulțimea $M=\left\{x\in \left[a,b\right]\,|\,f\left(x\right)=0\right\}$ este finită și are un număr impar de elemente. Demonstrați că $f$ are un punct de extrem local ce aparține mulțimii $M$.

27024 (Gheorghe Szöllösy)

Fie $I_{n}=\int _{0}^{\pi }{\frac {\cos nx}{13-12\cos x}}\,dx,n\geq 0.$ Să se calculeze $\lim _{n\to \infty }(I_{0}+I_{1}+I_{2}+\ldots +I_{n}).$

Gazeta Matematică 2/2015

27036 (Radu Pop)

Să se determine funcțiile derivabile $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ cu proprietățile:

a) $f'$ este funcție strict crescătoare;

b) $f'(0)=0;$

c) $f(yf'(x))+f(x)f(y)=xyf'(x)f'(y)$ , oricare ar fi $x,y\in \mathbb {R}$.

Gazeta Matematică 9/2015

E:14892 (Radu Pop & Ienuțaș Vasile)

Fie triunghiul $ABC$ cu $m\left(\sphericalangle C\right)>30^{\circ }$ și punctele $M$, $P$, $R$, $T$. Punctul $M$ este situat în interiorul triunghiului $ABC$ astfel încât $m\left(\sphericalangle BMA\right)=120^{\circ }$ și $m\left(\sphericalangle BCM\right)=30^{\circ }$, punctul $P\in \left(MD\right.$ astfel încât $\left[MP\right]\equiv \left[MB\right]$ cu $AM\cap BC=\left\{D\right\}$, iar $R\in \left(AB\right)$ și $T\in \left(AC\right)$ astfel încât $m\left(\sphericalangle RBM\right)={\frac {1}{2}}\cdot m\left(\sphericalangle RPM\right)$ și $m\left(\sphericalangle TPM\right)=2\cdot m\left(\sphericalangle TCM\right)$.

1. Arătați că ${\frac {1}{2}}\cdot m\left(\sphericalangle RPT\right)=m\left(\sphericalangle MRT\right)+m\left(\sphericalangle MTR\right)$
2. Determinați măsura unghiului $\sphericalangle ARM$
3. Arătați că $m\left(\sphericalangle MRT\right)+m\left(\sphericalangle MAT\right)=m\left(\sphericalangle DMC\right)$

Supliment pentru Gazeta Matematică 9/2015

S:E15.208 (Angela Lopată)

Determinați toate numerele naturale consecutive care au suma $2015$.

S:E15.239 (Andrei Horvat-Marc)

Într-un triunghi dreptunghic se notează cu $b$ și $c$ lungimile catetelor, cu $a$ lungimea ipotenuzei, cu $x$ și $y$ lungimile proiecțiilor catetelor pe ipotenuză, iar cu $h$ lungimea înălțimii corespunzătoare ipotenuzei.

a) Pentru $b=20$ cm și $c=15$ cm, calculați $a$, $x$, $y$ și $h$.

b) Arătați că există o infinitate de triunghiuri dreptunghice pentru care toate valorile $a$, $b$, $c$, $x$, $y$ și $h$ sunt numere naturale.

S:L15.228 (Iulian Bunu)

Fie șirul de numere reale $\left(a_{n}\right)_{n\geq 1}$, cu $a_{1}=5$, $a_{2}=7$, $a_{3}=10$ și $a_{n+1}=a_{1}+a_{2}+\ldots +a_{n-1}-a_{n}$ pentru orice $n>3$ și $\left(b_{n}\right)_{n\geq 1}$, cu $b_{n}=\sum \limits _{k=1}^{n}a_{k}$. Calculați $\lim \limits _{n\to \infty }{\dfrac {b_{2n}}{b_{2n+1}}}$

S:L15.231 (Andrei Horvat-Marc)

Fie $\left(a_{n}\right)_{n\geq 1}$ un șir crescător de numere reale strict pozitive cu $\lim \limits _{n\to \infty }a_{n}=a$. Arătați că

$$\lim \limits _{n\to \infty }{\dfrac {a-a_{n}}{\ln {\frac {a}{a_{n}}}}}=a$$

S:L15.236 (Gabriela Boroica)

Dacă funcțiile $f,g:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ admit primitive, atunci funcția $u=\max \left\{f,g\right\}-\left|f\right|$ are primitive pe $\mathbb {R}$?