S:L15.228

S:L15.228 (Iulian Bunu)

Fie șirul de numere reale $\left(a_{n}\right)_{n\geq 1}$, cu $a_{1}=5$, $a_{2}=7$, $a_{3}=10$ și $a_{n+1}=a_{1}+a_{2}+\ldots +a_{n-1}-a_{n}$ pentru orice $n>3$

și $\left(b_{n}\right)_{n\geq 1}$, cu $b_{n}=\sum \limits _{k=1}^{n}a_{k}$.

Calculați $\lim \limits _{n\to \infty }{\dfrac {b_{2n}}{b_{2n+1}}}$

Soluție

Folosind inducția matematică se demonstrează că $a_{2n}=2^{n-1}$ oricare ar fi $n\geq 1$ și $a_{2n+1}=5\cdot 2^{n}$ oricare ar fi $n\geq 0$.

Avem Nu s-a putut interpreta (MathML cu fallback pe SVG sau PNG (recomandat pentru browserele moderne și uneltele de accesibilitate): Răspuns incorect („Math extension cannot connect to Restbase.”) de la serverul „https://wikimedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle b_{2n} = a_1+a_2+\ldots + a_{2n} = a_{2n+1} + a_{2n+2}} șiNu s-a putut interpreta (MathML cu fallback pe SVG sau PNG (recomandat pentru browserele moderne și uneltele de accesibilitate): Răspuns incorect („Math extension cannot connect to Restbase.”) de la serverul „https://wikimedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle b_{2n+1} = a_1+a_2+\ldots + a_{2n+1} = a_{2n+2} + a_{2n+3}} AtunciNu s-a putut interpreta (MathML cu fallback pe SVG sau PNG (recomandat pentru browserele moderne și uneltele de accesibilitate): Răspuns incorect („Math extension cannot connect to Restbase.”) de la serverul „https://wikimedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle \lim\limits_{n\to \infty} \dfrac{b_{2n}}{b_{2n+1}} = \lim\limits_{n\to \infty} \dfrac{5\cdot 2^n + 2^n}{2^n + 5\cdot 2^{n+1}} = \dfrac{6}{11}.}