S:E15.208

S:E15.208 (Angela Lopată)

Determinați toate numerele naturale consecutive care au suma $2015$.

Soluția 1 Fie $a\in \mathbb {N}$ și $N\in \mathbb {N} \setminus \left\{0,1\right\}$ numere naturale pentru care

$$\left(a+1\right)+\left(a+2\right)+\ldots +\left(a+N\right)=2015.$$

În mod echivalent, se obține

$$Na+\left(1+2+\ldots +N\right)=2015,$$

deci

$$N\cdot \left(2a+1+N\right)=2\cdot 2015.$$

Din $a\geq 0$, avem $N\left(N+1\right)\leq N\left(2a+1+N\right)=2024$. Cum $63\cdot 64\leq 4030\leq 64\cdot 65$, se deduce că $N\leq 63$.

Din $N|4030$ și $N\leq 63$ rezultă $N\in \left\{2,5,10,13,26,31,62\right\}$.

Pentru $N=2$ se obține $2a+3=2015$, cu $a=1006$. Deci avem suma de două numere consecutive

$$1007+1008=2015.$$

Pentru $N=5$ se obține $2a+6=806$, cu Nu s-a putut interpreta (MathML cu fallback pe SVG sau PNG (recomandat pentru browserele moderne și uneltele de accesibilitate): Răspuns incorect („Math extension cannot connect to Restbase.”) de la serverul „https://wikimedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle a = 400} . Deci avem suma de Nu s-a putut interpreta (MathML cu fallback pe SVG sau PNG (recomandat pentru browserele moderne și uneltele de accesibilitate): Răspuns incorect („Math extension cannot connect to Restbase.”) de la serverul „https://wikimedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle 5} numere consecutive

$$401+402+403+404+405=2015.$$

Pentru $N=10$ se obține $2a+11=403$, cu $a=196$. Deci avem suma de $10$ numere consecutive

$$197+198+\ldots +206=2015.$$

Pentru $N=13$ se obține $2a+14=310$, cu $a=148$. Deci avem suma cu Nu s-a putut interpreta (MathML cu fallback pe SVG sau PNG (recomandat pentru browserele moderne și uneltele de accesibilitate): Răspuns incorect („Math extension cannot connect to Restbase.”) de la serverul „https://wikimedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle 13} termeni, numere consecutive

$$149+150+\ldots +161=2015.$$

Pentru $N=26$ se obține $2a+27=155$, cu $a=64$. Deci avem suma de $26$ de numere consecutive

$$65+66+\ldots +67=2015.$$

Pentru $N=31$ se obține $2a+32=130$, cu $a=49$. Deci avem suma de $31$ de numere consecutive

$$50+51+\ldots +80=2015.$$

Pentru $N=62$ se obține $2a+63=65$, cu Nu s-a putut interpreta (MathML cu fallback pe SVG sau PNG (recomandat pentru browserele moderne și uneltele de accesibilitate): Răspuns incorect („Math extension cannot connect to Restbase.”) de la serverul „https://wikimedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle a = 1} . Deci avem suma de $62$ de numere consecutive

$$2+3+\ldots +63=2015.$$

Soluția 2

Fie $N\in \mathbb {N} \setminus \left\{0,1\right\}$ numărul de termeni ai sumei.

Cum suma a $4n$ numere consecutive este un număr par, iar $2015$ este număr impar, deducem că $4\nmid N$.

Pentru $N=4n+2$, cu $n\in \mathbb {N}$, suma se poate scrie

$$\left(b-2n\right)+\left(b-2n+1\right)+\ldots +\left(b-1\right)+b+\left(b+1\right)+\left(b+1\right)+\ldots +\left(b+2n\right)+\left(a+2n+1\right)=2015,$$

unde $b\in \mathbb {N}$, cu $b\geq 2n$. Se obține

$$\left(2n+1\right)\left(2b+1\right)=1\cdot 5\cdot 13\cdot 31.$$

Pentru $2n+1=1$ se obține $b=1007$ și suma

$$1007+1008=2015.$$

Pentru $2n+1=5$ se obține $b=201$ și suma

$$197+198+\ldots +206=2015.$$

Pentru $2n+1=13$ se obține $b=77$ și suma

$$65+66+\ldots +67=2015.$$

Pentru $2n+1=31$ se obține $b=32$ și suma

$$2+3+\ldots +63=2015.$$

Celelalte situații posibile nu satisfac condiția $b\geq 2n$.

Pentru $N=2n+1$, cu $n\in \mathbb {N} ^{\ast }$, suma se poate scrie

$$\left(b-n\right)+\left(b-n+1\right)+\ldots +\left(b-1\right)+b+\left(b+1\right)+\left(b+2\right)+\ldots +\left(b+n\right)=2015,$$

unde $b\in \mathbb {N}$, cu $b\geq n$.

Se obține

$$\left(2n+1\right)\cdot b=5\cdot 13\cdot 31.$$

Pentru $2n+1=5$ se obține $b=403$ și suma

$$401+402+403+404+405=2015.$$

Pentru $2n+1=13$ se obține $b=155$ și suma

$$149+150+\ldots +161=2015.$$

Pentru $2n+1=31$ se obține $b=65$ și suma

$$50+51+\ldots +80=2015.$$

Celelalte situații posibile nu satisfac condiția $b\geq n$.