Gazeta matematică 2022: Difference between revisions
(16 intermediate revisions by the same user not shown) | |||
Line 1: | Line 1: | ||
== Gazeta Matematică 1/2022 == | == Gazeta Matematică 1/2022 == | ||
'''[[28247]] | ==== Clasa a XI-a ==== | ||
'''[[28247]] (Florin Bojor)''' | |||
''Fie matricele <math>A, B \in \mathcal{M}_3(\mathbb{C}),</math> care verifică simultan condițiile: | ''Fie matricele <math>A, B \in \mathcal{M}_3(\mathbb{C}),</math> care verifică simultan condițiile: | ||
Line 9: | Line 10: | ||
</ol> | </ol> | ||
'''[[28250]] | ==== Clasa a XII-a ==== | ||
'''[[28250]] (Codruț-Sorin Zmicală)''' | |||
''Calculați'' | ''Calculați'' | ||
''<math display="block">\lim_{n \to \infty}\sqrt[n]{\int_{0}^{1} (\sqrt{x}+x^n})^ndx.</math>'' | |||
''<math | '''[[28251]] (Gheorghe Boroica) ''' | ||
''Fie'' <math>(n \geq 2)</math> ''un număr natural și'' <math> f: [0,1] \longrightarrow \mathbb{R} </math> ''o funcție continuă astfel încât'' <math>f(0) \geq 0</math> și <math>\int_{0}^{1} e^{2f(x)} dx = 1+\frac{2}{n^3}</math>. | |||
<br /> | |||
a) ''Dați un exemplu de o funcție <math>f</math> cu proprietățile din enunț''. | |||
<br /> | |||
b) ''Arătați că există'' <math> c \in [0,1] </math> astfel încât <math> f(c) = c^{n^{3}-1} | |||
</math>. | |||
== Gazeta Matematică 2/2022 == | |||
==== Clasa a VII-a ==== | |||
'''[[E:16203]] (Dana Heuberger)''' | |||
''Fie triunghiul'' <math>BCD</math> dreptunghic în <math>D</math>, cu <math>\sphericalangle CBD = 90^\circ</math>. ''Se consideră punctul'' <math>M</math> ''astfel încât semidreapta'' <math>CD</math> ''este bisectoarea'' <math>\sphericalangle BCM</math> ''și'' <math>MD \bot BC</math>''. Fie punctul'' <math>L</math> ''astfel încât'' <math>B</math> ''se află pe segmentul'' <math>ML</math> ''și'' <math>BM=2BL</math>. ''Notăm cu'' <math>F</math> ''simetricul lui'' <math>D</math> ''față de'' <math>B</math>. ''Arătați că'' | |||
a) <math>MB=CF</math> | |||
b) <math>\sphericalangle BDL = \sphericalangle BMD</math> | |||
==== Clasa a IX-a ==== | |||
'''[[28260]] (Dana Heuberger)''' | |||
''Fie triunghiul echilateral <math>ABC</math> înscris în cercul de centru <math>O</math> și rază <math>1</math>. Considerăm mulțimea <math>\mathcal{M}</math> a punctelor <math>X</math> din plan cu proprietatea că <math>\overrightarrow{OX} = k \cdot \overrightarrow{OA} + m \cdot \overrightarrow{OB} + n \cdot \overrightarrow{OC}</math>, unde <math>k, m, n \in N^*</math>. Arătați că oricare ar fi punctele distincte <math>M, N, P \in \mathcal{M} </math> există <math>Q\in\mathcal{M}</math> astfel încât vectorii <math>\overrightarrow{MN}</math>, <math>\overrightarrow{PQ} </math> și <math>\overrightarrow{NM}+</math> <math>\overrightarrow{QP}</math> să formeze un triunghi echilateral.'' | |||
==== Clasa a X-a ==== | |||
'''[[S:L22.58]] (Vasile Giurgi)''' | |||
''Determinați'' <math>a \in \mathbb{R}</math> ''pentru care ecuația'' | |||
<math display="block">\frac{x^{\lg x}}{10^a}+\lg^2 x = x + \lg x+a</math>''are o soluție unică în'' <math>\mathbb{R}</math>. | |||
== Gazeta Matematică 3/2022 == | == Gazeta Matematică 3/2022 == | ||
Line 22: | Line 53: | ||
== Gazeta Matematică 4/2022 == | == Gazeta Matematică 4/2022 == | ||
==== Clasa a X-a ==== | |||
'''[[28315]] (Vasile Pop și Nicolae Mușuroia)''' | |||
''Fie'' <math>P_1P_2\ldots P_n</math> <math>(n \geq 3)</math> ''un poligon regulat și'' <math>M</math> ''un punct în interiorul poligonului. Notăm cu <math>M_1</math>, <math>M_2, \ldots, M_n</math> simetricele punctului <math>M</math> față de laturile poligonului. Arătați că, pentru orice alegere a punctului <math>M</math>, poligoanele <math>M_1</math><math>M_2 \ldots M_n</math> au același centru de greutate.'' | |||
== Gazeta Matematică 5/2022 == | |||
==== Clasa a X-a ==== | |||
'''[[28338]] (Nicolae Muşuroia)''' | |||
''Fie'' <math>M</math> ''un punct în planul triunghiului'' <math>ABC</math> ''iar'' <math>A_1, B_1, C_1</math> ''simetricele punctului <math>M</math> față de mijloacele laturilor'' <math>BC, AC,</math> ''respectiv'' <math>AB</math>''.'' | |||
''a) Arătați că dreptele'' <math>AA_1, BB_1, CC_1</math> ''sunt concurente într-un punct'' <math>N</math>''.'' | |||
''b) Arătați că punctele'' <math>M, G, N</math> ''sunt coliniare și că'' <math>\frac{MG}{GN}</math> <math>= 2,</math> ''unde'' <math>G</math> ''este centrul de greutate al triunghiului'' <math>ABC</math>''.'' | |||
'''[[ | == Gazeta Matematică 6-7-8/2022 == | ||
==== Clasa a IX-a ==== | |||
'''[[28354]] (Florin Bojor)''' | |||
''Fie <math>O</math> punctul de intersecție a diagonalelor patrulaterului convex <math>ABCD</math> și punctele <math>E</math>, <math>F</math>, <math>G</math> și <math>H</math> situate pe segmentele <math>OA</math>, <math>OB</math>, <math>OC</math>, respectiv <math>OD</math>, astfel încât <math>AE = BF = CG = DH</math>. Notăm cu <math>I</math>, <math>J</math>, <math>K</math> și <math>L</math> mijloacele segmentelor <math>AB</math>, <math>BC</math>, <math>CD</math>, respectiv <math>DA</math> și cu <math>M</math>, <math>N</math>, <math>P</math> și <math>Q</math> mijloacele segmentelor <math>EF</math>, <math>FG</math>, <math>GH</math>, ''respectiv'' <math>HE</math>. ''Arătați că:'' | |||
<ol type="a"><li> ''punctele <math>I</math>,<math>M</math> și <math>K</math> sunt coliniare dacă și numai dacă'' <math>AC=BD</math>.</li> | |||
<li> ''<math>AC \not= BD</math>, punctele de intersecție ale dreptelor <math>IM</math>, <math>NJ</math>, <math>PK</math> și <math>LQ</math> sunt vârfurile unui dreptunghi.''</li></ol>'' | |||
== Gazeta Matematică 10/2022 == | |||
==== Clasa a V-a ==== | |||
'''[[E:16379]] (Cristina Vijdeluc, Salonic şi Mihai Vijdeluc, Baia Mare)''' | |||
''Aflaţi numărul natural ''<math>\overline{ab}</math>'', cu cifre distincte, pentru care ''<math>(\overline{ab} - \overline{ba}) : (a - b) = \overline{bb} \cdot \overline{ba} - 2015.</math> | |||
'''[[E:16380]] (Cristina Vijdeluc, Salonic şi Mihai Vijdeluc, Baia Mare)''' | |||
''Aflaţi numerele naturale ''<math>a,b,c,d</math>'' pentru care are loc relaţia ''<math>2(3^{a + 1} + 3^{b + 1} + 3^{c + 1}) = 3 \cdot 6 \cdot 9 \cdot \ldots \cdot d.</math> | |||
'''[[E:16382]] (Cristina Vijdeluc și Mihai Vijdeluc)''' | |||
''Afișați numerele întregi pozitive <math>\overline{abcd}</math> cu proprietatea ''<math>a^7 + a^b + a^c + a^d = \overline{a000}.</math> | |||
==== Clasa a XI-a ==== | |||
'''[[28437]] (Nicolae Mușuroaia)''' | |||
'' Fie șirul '' <math> (a_n)_{n \geq 1} </math> '' cu termenii strict pozitivi, dat de relația'' <math> a_{n+1}=\ln(a_1 + a_2 + ... + a_n), n \geq 1. </math>'' Determinați ''<math>\lim_{{n \to \infty}} \left(\frac{a_{n+1}}{a_n}-1\right) \cdot e^{a_n}. </math> | |||
== Gazeta Matematică 11/2022 == | |||
==== Clasa a V-a ==== | |||
'''[[E:16407]] (Cristina Vijdeluc și Mihai Vijdeluc)''' | |||
''Aflați cifrele nenule <math>a </math> și <math>b</math> pentru care <math>a + 10 \cdot (a + b)^{3} = \overline{baba}.</math>'' | |||
==== Clasa a IX-a ==== | |||
'''[[28450]] (Nicolae Mușuroia)''' | |||
Fie <math> | ''Fie <math>n \in </math> ℕ, <math>n \geq 4</math> și <math>p \in \{1, 2,..., [n/2]\}.</math> Considerăm mulțimile disjuncte <math>A = \{ a_{1}, a_{2},..., a_{n} \}</math> și <math>B = \{ b_{1}, b_{2},..., b_{n} \}</math>, formate din primii <math>n</math> termeni a două progresii aritmetice <math>(a_{k})_{k\geq1}</math> și <math>(b_{k})_{k\geq1}</math> cu rații opuse, nenule. Arătați că printre orice <math>n + p + 1</math> elemente distincte ale mulțimii <math>A \cup B</math> există două a căror sumă este egală cu <math>a_{2p} + b_p.</math>'' |
Latest revision as of 15:25, 1 November 2024
Gazeta Matematică 1/2022[edit | edit source]
Clasa a XI-a[edit | edit source]
28247 (Florin Bojor)
Fie matricele care verifică simultan condițiile:
- matricea este nilpotentă și matricea este inversabilă.
Arătați că ecuația nu are soluții în .
Clasa a XII-a[edit | edit source]
28250 (Codruț-Sorin Zmicală)
Calculați
28251 (Gheorghe Boroica)
Fie un număr natural și o funcție continuă astfel încât și .
a) Dați un exemplu de o funcție cu proprietățile din enunț.
b) Arătați că există astfel încât .
Gazeta Matematică 2/2022[edit | edit source]
Clasa a VII-a[edit | edit source]
E:16203 (Dana Heuberger)
Fie triunghiul dreptunghic în , cu . Se consideră punctul astfel încât semidreapta este bisectoarea și . Fie punctul astfel încât se află pe segmentul și . Notăm cu simetricul lui față de . Arătați că
a)
b)
Clasa a IX-a[edit | edit source]
28260 (Dana Heuberger)
Fie triunghiul echilateral înscris în cercul de centru și rază . Considerăm mulțimea a punctelor din plan cu proprietatea că , unde . Arătați că oricare ar fi punctele distincte există astfel încât vectorii , și să formeze un triunghi echilateral.
Clasa a X-a[edit | edit source]
S:L22.58 (Vasile Giurgi)
Determinați pentru care ecuația
Gazeta Matematică 3/2022[edit | edit source]
S:L22.108. (Nicolae Mușuroia)
Fie cu , neinversabilă și , unde . Arătați că
Gazeta Matematică 4/2022[edit | edit source]
Clasa a X-a[edit | edit source]
28315 (Vasile Pop și Nicolae Mușuroia)
Fie un poligon regulat și un punct în interiorul poligonului. Notăm cu , simetricele punctului față de laturile poligonului. Arătați că, pentru orice alegere a punctului , poligoanele au același centru de greutate.
Gazeta Matematică 5/2022[edit | edit source]
Clasa a X-a[edit | edit source]
28338 (Nicolae Muşuroia)
Fie un punct în planul triunghiului iar simetricele punctului față de mijloacele laturilor respectiv .
a) Arătați că dreptele sunt concurente într-un punct .
b) Arătați că punctele sunt coliniare și că unde este centrul de greutate al triunghiului .
Gazeta Matematică 6-7-8/2022[edit | edit source]
Clasa a IX-a[edit | edit source]
28354 (Florin Bojor)
Fie punctul de intersecție a diagonalelor patrulaterului convex și punctele , , și situate pe segmentele , , , respectiv , astfel încât . Notăm cu , , și mijloacele segmentelor , , , respectiv și cu , , și mijloacele segmentelor , , , respectiv . Arătați că:
- punctele , și sunt coliniare dacă și numai dacă .
- , punctele de intersecție ale dreptelor , , și sunt vârfurile unui dreptunghi.
Gazeta Matematică 10/2022[edit | edit source]
Clasa a V-a[edit | edit source]
E:16379 (Cristina Vijdeluc, Salonic şi Mihai Vijdeluc, Baia Mare)
Aflaţi numărul natural , cu cifre distincte, pentru care
E:16380 (Cristina Vijdeluc, Salonic şi Mihai Vijdeluc, Baia Mare)
Aflaţi numerele naturale pentru care are loc relaţia
E:16382 (Cristina Vijdeluc și Mihai Vijdeluc)
Afișați numerele întregi pozitive cu proprietatea
Clasa a XI-a[edit | edit source]
28437 (Nicolae Mușuroaia)
Fie șirul cu termenii strict pozitivi, dat de relația Determinați
Gazeta Matematică 11/2022[edit | edit source]
Clasa a V-a[edit | edit source]
E:16407 (Cristina Vijdeluc și Mihai Vijdeluc)
Aflați cifrele nenule și pentru care
Clasa a IX-a[edit | edit source]
28450 (Nicolae Mușuroia)
Fie ℕ, și Considerăm mulțimile disjuncte și , formate din primii termeni a două progresii aritmetice și cu rații opuse, nenule. Arătați că printre orice elemente distincte ale mulțimii există două a căror sumă este egală cu