Gazeta matematică 2024

Gazeta Matematică 5/2024

Ciclul primar

P:1791 (Vraja-Lőkös Éva-Ibolya)

Suma a două numere naturale, pare, consecutive este $90$. Aflați produsul acestor numere.

P:1792 (Monica Dragoș)

Determinați numărul natural ${\overline {ab}}$ pentru care $a\times {\overline {b00b}}+{\overline {aa}}=2024$.

P:1793 (Ioana Roman)

Determinați cel mai mic număr de forma ${\overline {abcd}}$ pentru care are loc egalitatea $1+{\overline {abcd}}=88\times {\overline {cd}}$.

P:1794 (Florin Bojor)

Suma a trei numere este $182$. Aflați cele trei numere, știind că jumătatea primului număr, treimea celui de-al doilea și pătrimea celui de-al treilea număr sunt trei numere consecutive în ordine crescătoare.

P:1795 (Gheorghe Boroica)

Numărul $42$ se scrie ca și produsul a $2025$ numere naturale. Determinați suma minimă a tuturor factorilor acestui produs.

P:1796 (Mariana Pop)

Un grup de elevi pornește în drumeție din orașul Târgu Lăpuș și ajunge după cinci ore pe Vârful Țibleș. Distanța de $42$ de kilometri a fost parcursă de grupul de elevi cu bicicletele, mergând cu o viteză de $10$ km/h, iar pe jos cu o viteză de $2$ km/h. Aflați câți kilometri au fost parcurși cu bicicletele și câți kilometri au fost parcurși pe jos.

P:1797 (Simona Cosma)

Pentru cei $24$ de elevi ai unei clase se confecționează ținuta școlară, constând din sarafan pentru fete și veste pentru băieți. Pentru $8$ sarafane și $4$ veste sunt necesari $20$m de stofă, iar pentru $10$ sarafane și $12$ veste sunt necesari $32$m de stofă. Aflați câți metri de stofă sunt necesari pentru confecționarea ținutei școlare pentru toți elevii clasei, știind că numărul fetelor este cu $2$ mai mare decât cel al băieților.

P:1798 (Andreea Budea)

De ziua ei, Miruna are cinci invitați pentru care a pregătit un coșuleț în care a pus de trei ori mai multe bomboane decât acadele. Fiecare invitat a luat din coșuleț câte o bomboană și câte o acadea. Astfel, în coșuleț au rămas de patru ori mai puține acadele decât bomboane. Aflați câte bomboane și câte acadele au fost la început în coșulețul pregătit de Miruna.

P:1799 (Nicolae Mușuroia)

La un test Ana rezolvă $5$ probleme și $3$ exerciții și obține $75$ de puncte. La același test, Dan a obținut $75$ de puncte pentru rezolvarea a $4$ probleme și $5$ exerciții. Se știe că punctajul maxim care poate fi obținut este $100$ de puncte, dintre care $10$ puncte sunt acordate din oficiu. Aflați câte puncte valorează o problemă și câte puncte valorează un exercițiu.

P:1800 (Ioan Ovidiu Pop, Coroieni)

Aflați numărul de telefon ${\overline {07abcdefgh}}$, format din zece cifre, nu neapărat distincte, pentru care numerele $a+c$, $b+c$, $d+e$, $c+d$, $a+b+e$, $c+d+f$, $b+c+g$ și $d+e+h$ sunt opt numere consecutive așezate în ordine crescătoare.

Clasa a V-a

E:16887 (Gheorghe Boroica)

Suma a $90$ de numere naturale este $2069$. Arătați că există, printre acestea, cel puțin trei numere egale.

E:16888 (Gheorghe Boroica)

Considerăm $n$ un număr natural nenul. Demonstrați că numărul $N=\underbrace {44\ldots 4} _{n{\text{ cifre}}}\underbrace {22\ldots 2} _{n{\text{ cifre}}}$ poate fi scris ca produsul a două numere naturale consecutive.

E:16889 (Călin Hossu)

Prin împărțirea unui număr de patru cifre la răsturnatul său, se obține câtul $2$ și restul $1977$. Aflați numărul, știind că diferența dintre cifra miilor și cifra unităților este $5$, iar cifra sutelor este cu $4$ mai mare decât cifra zecilor.

E:16890 (Bogdan Zetea, Călin Hossu)

Demonstrați că, pentru orice număr natural nenul $n$, numărul $2024^{n}+n^{2024}+2$ nu este un pătrat perfect.

E:16891 (Sever Pop)

Determinați numerele prime $p$, $q$, $r$, distincte două câte două, pentru care are loc egalitatea $3p^{4}-5q^{4}-4r^{2}=26$.

E:16892 (Nicolae Mușuroia)

Aflați suma divizorilor pari ai celui mai mare număr natural $a$, cu $a<1000$, pentru care suma divizorilor impari este egală cu $24$.

E:16893 (Traian Covaciu)

Arătați că numerele $7n-1$ și $17n-1$ sunt simultan prime doar dacă $n$ este un multiplu natural al lui $6$.

Clasa a VI-a

E:16899 (Angela Lopată)

Fie $ABC$ un triunghi pentru care lungimea proiecţiei laturii $AB$ pe dreapta $BC$ este mai mare decât lungimea segmentului $\left[AC\right]$. Considerăm punctele $M$, $N$ pe laturile $\left(BC\right)$, respectiv $\left(AC\right)$ astfel încât $BM=CN$. Fie punctul $P$ astfel încât $NM=MP$, punctele $N$ și $P$ sunt de aceeași parte a dreptei $BC$, iar distanţa de la punctul $P$ la dreapta $BC$ este aceeași cu distanţa de la punctul $M$ la dreapta $AC$. Arătaţi că $\sphericalangle NMP=\sphericalangle PBM=\sphericalangle MCA$.

Clasa a VII-a

E:16901 (Călin Hossu)

Determinați numărul natural pentru care are loc egalitatea $x{\sqrt {x}}+x^{2}=30758$.

E:16902 (Melania-Iulia Dobrican)

Fie numerele reale pozitive $x$, $y$, cu $xy=4$. Arătaţi că ${\frac {1}{x+4}}+{\frac {1}{y+4}}\leq {\frac {1}{3}}.$

Clasa a VIII-a

E:16910 (Teodora Zetea & Bogdan Zetea)

Aflați soluțiile întregi ale ecuației $x^{4}+4y^{4}=3796.$

Clasa a X-a

28867 (Natalia Fărcaș)

Fie funcția injectivă $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$, cu proprietatea că există numerele reale $a$ și $b$ astfel încât $f\left(x\right)\cdot f\left(1-x\right)=f\left(ax+b\right)$ oricare ar fi $x\in \mathbb {R}$.

1. Demonstrați că $f\left(1-b\right)=1$.
2. Dați un exemplu de șir $\left(f_{n}\right)_{n\geq 1}$ de funcții injective $f_{n}:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$, cu proprietatea că există $a,b\in \mathbb {R}$, astfel încât pentru orice $x\in \mathbb {R}$, avem
   $$f_{n}\left(x\right)\cdot f_{n}\left(1-x\right)=f_{n}\left(ax+b\right)$$
   și
   $$\log _{n+1}f_{n}\left(x\right)=a-\log _{n+1}f_{n}\left(-x\right).$$

28868 (Andrei Horvat-Marc)

Fie $n\in \mathbb {N^{\ast }}$ și funcțiile $f:\left[0,2n^{2}+3n\right]\to \left[1,2n+1\right]$, $f\left(x\right)={\frac {{\sqrt {8x+9}}-1}{2}}$ și $g:\left[1,2n+1\right]\to \left[0,2n^{2}+3n\right]$, $g\left(x\right)=f^{-1}\left(x\right)$.

Fie punctele $A\left(2n^{2}+3n,2n+1\right)$, $B\left(2n+1,2n^{2}+3n\right)$ și mulțimea $M$ a punctelor din plan cuprinse între graficele funcțiilor $f$ și $g$ și dreapta $AB$. Aflați numărul punctelor din $M$ care au ambele coordonate întregi.