Gazeta matematică 2012

Gazeta Matematică 3/2012

E:14309 (Alexandru Vele)

Determinați numerele naturale Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a_1, a_2, a_3, a_4, a_5, a_6, a_7} astfel încât să avem egalitatea: Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 2012 = a_1 \cdot3^x + a_2\cdot3^y + a_3\cdot3^z + a_4\cdot3^t + a_5\cdot3^u + a_6\cdot3^r + a_7\cdot3^s.} Arătați că Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + a_5 + a_6 + a_7 = m^2 + n^2, m,n\in\Nu}

Gazeta Matematică 3/2012

E:14310 (Traian Covaciu)

Fie Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle n, n + 2, n + 6 } trei numere naturale și Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle S } suma lor.

a) Dați exemplu de cel puțin trei valori pentru Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle n \in \mathbb{N}} astfel încât numerele Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle n, n + 2, n + 6 } să fie simultan numere prime.

b) Dacă Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle n, n + 2, n + 6 } sunt simultan numere prime, arătați că există Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle k \in \mathbb{N} } astfel încât $S=9k+5$.

c) Dacă $n,n+2,n+6$ sunt numere prime, determinați restul împărțirii numărului $S$ la $18$.

E:14312 (Iulian Bunu) Andrei are o anumită sumă de bani și se pregătește pentru două evenimente: Tabăra de Matematică și aniversarea Anei. Dacă ar câștiga premiul de 50 de lei și n-ar putea merge la aniversare, noua sumă ar fi cubul unui număr natural, iar dacă n-ar câștiga nimic, dar ar cheltui pentru cadou 50 de lei, noua sumă ar fi pătratul aceluiași număr natural. Ce sumă are Andrei?

E:14313 (Emil Florin Bizău și Ioan Bizău)

Determinați numerele întregi $x$, $y$ și $z$ astfel încât ${\frac {2x+3}{3}}={\frac {2}{3y-1}}={\frac {5}{4z-3}}$.

Gazeta Matematică 4/2012

E:14331 (Cristina Vijdeluc și Mihai Vijdeluc)

Fie $n\geq 2$ un număr natural. Arătați că numărul $n^{4}+n^{2}+3$ nu poate fi scris ca sumă a două numere prime.

E:14336 (Gheorghe Szöllösy)

Fie $a$ și $b$ două numere reale nenule, fixate. Determinați toate funcțiile $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ cu proprietatea:

$$f(x)-f(y)=(ax+by)f(x)f(y),$$

pentru orice $x$ și $y$ numere reale.

Gazeta Matematică 9/2012

E:14380 (Vasile Ienuțaș)

Determinați cifrele $a$ și $b$ știind că ${\overline {ab}}=(a+b)(a+b-1)$.

E:14383 (Gheorghe Gherasim)

Numerele naturale distincte $a$, $b$ verifică $9\cdot [\,a,b]\,=a\cdot b\cdot (\,a\cdot b)\,$.

i) Arătați că $a$ și $b$ nu sunt prime între ele.

ii) Arătați că diferența numerelor este cel puțin $3$.

Se consideră că $[a,b]$ reprezintă cel mai mic multiplu comun al numerelor $a$ și $b$, iar $(a,b)$ este cel mai mare divizor comun al numerelor $a$ și Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle b} .