E:14336

E:14336 (Gh. Szöllösy)

Fie $a$ și $b$ două numere reale nenule, fixate. Determinați toate funcțiile $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ cu proprietatea:

$$f(x)-f(y)=(ax+by)f(x)f(y),$$

pentru orice $x$ și $y$ numere reale.

Soluție.

Presupunem că$f(0)=c\neq 0.$ Atunci, pentru $y=0$ relația din enunț devine

$$f(x)-c=acxf(x).$$

Ultima relație nu poate fi adevărată pentru orice $x\in \mathbb {R}$. Într-adevăr, pentru $x={\frac {1}{ac}}$ obținem $c=0$, în contradicție cu presupunerea făcută, $c\neq 0$.

Rezultă așadar, că $f(0)=0$. De aici, luând $y=0$ obținem $f(x)=0$, singura funcție care verifică relația dată.