Gazeta matematică 2012

Gazeta Matematică 3/2012

E:14309 (Bogdan Pop)

Determinați numerele naturale $a_{1},a_{2},a_{3},a_{4},a_{5},a_{6},a_{7}$ astfel încât să avem egalitatea:

$2012=a_{1}\cdot 3^{x}+a_{2}\cdot 3^{y}+a_{3}\cdot 3^{z}+a_{4}\cdot 3^{t}+a_{5}\cdot 3^{u}+a_{6}\cdot 3^{r}+a_{7}\cdot 3^{s}.$

Arătați că $a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}+a_{5}+a_{6}+a_{7}=m^{2}+n^{2},m,n\in \mathrm {N}$

Alexandru Vele, Târgu Lăpuș

Soluție. Dacă $a_{1},a_{2},a_{3},a_{4},a_{5},a_{6},a_{7}$ sunt mai mici decât 3, atunci $a_{1}\cdot 3^{x}+a_{2}\cdot 3^{y}+a_{3}\cdot 3^{z}+a_{4}\cdot 3^{t}+a_{5}\cdot 3^{u}+a_{6}\cdot 3^{r}+a_{7}\cdot 3^{s}$ poate fi privită ca scrierea în baza 3 a lui 2012. Cum $2012=2\cdot 3^{0}+1\cdot 3^{1}+1\cdot 3^{2}+2\cdot 3^{3}+0\cdot 3^{4}+2\cdot 3^{5}.+2\cdot 3^{6}$ avem $a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}+a_{5}+a_{6}+a_{7}=2+1+1+2+0+2+2=10=1^{2}+3^{2}.$ Dacă cel puțin unul dintre numerele $a_{1},a_{2},a_{3},a_{4},a_{5},a_{6},a_{7}$ este mai mare sau egal cu 3, atunci problema nu mai rămâne adevărată; 2012 se poate scrie ca o suma de puteri ale lui 3, dar suma a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + a_5 + a_6 + a_7 nu se mai scrie, sigur, ca sumă de două pătrate.

Gazeta Matematică 3/2012

E:14310 (Traian Covaciu)

Fie $n,n+2,n+6$ trei numere naturale și $S$ suma lor.

a) Dați exemplu de cel puțin trei valori pentru $n\in \mathbb {N}$ astfel încât numerele $n,n+2,n+6$ să fie simultan numere prime.

b) Dacă $n,n+2,n+6$ sunt simultan numere prime, arătați că există $k\in \mathbb {N}$ astfel încât $S=9k+5$.

c) Dacă $n,n+2,n+6$ sunt numere prime, determinați restul împărțirii numărului $S$ la $18$.

E:14312 (Iulian Bunu) Andrei are o anumită sumă de bani și se pregătește pentru două evenimente: Tabăra de Matematică și aniversarea Anei. Dacă ar câștiga premiul de 50 de lei și n-ar putea merge la aniversare, noua sumă ar fi cubul unui număr natural, iar dacă n-ar câștiga nimic, dar ar cheltui pentru cadou 50 de lei, noua sumă ar fi pătratul aceluiași număr natural. Ce sumă are Andrei?

E:14313 (Emil Florin Bizău și Ioan Bizău)

Determinați numerele întregi $x$, $y$ și $z$ astfel încât ${\frac {2x+3}{3}}={\frac {2}{3y-1}}={\frac {5}{4z-3}}$.

Gazeta Matematică 4/2012

E:14331 (Cristina Vijdeluc și Mihai Vijdeluc)

Fie $n\geq 2$ un număr natural. Arătați că numărul $n^{4}+n^{2}+3$ nu poate fi scris ca sumă a două numere prime.

E:14336 (Gheorghe Szöllösy)

Fie $a$ și $b$ două numere reale nenule, fixate. Determinați toate funcțiile $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ cu proprietatea:

$$f(x)-f(y)=(ax+by)f(x)f(y),$$

pentru orice $x$ și $y$ numere reale.

Gazeta Matematică 9/2012

E:14380 (Vasile Ienuțaș)

Determinați cifrele $a$ și $b$ știind că ${\overline {ab}}=(a+b)(a+b-1)$.

E:14383 (Gheorghe Gherasim)

Numerele naturale distincte $a$, $b$ verifică $9\cdot [\,a,b]\,=a\cdot b\cdot (\,a\cdot b)\,$.

i) Arătați că $a$ și $b$ nu sunt prime între ele.

ii) Arătați că diferența numerelor este cel puțin $3$.

Se consideră că $[a,b]$ reprezintă cel mai mic multiplu comun al numerelor $a$ și $b$, iar $(a,b)$ este cel mai mare divizor comun al numerelor $a$ și $b$.