Gazeta matematică 2021

Gazeta Matematică 6-7-8/2021

Clasa a V-a

E:15990 (Cristina Vijdeluc și Mihai Vijdeluc)

Aflați numărul ${\overline {xyzt}}={\overline {ab}}\cdot {\overline {ac}}$, știind că ${\overline {a,b}}+{\overline {a,c}}=p^{2}$ și ${\overline {ab}}-{\overline {ac}}=q^{2}$, unde p și q sunt numere prime.

E:15991 (Cristina Vijdeluc și Mihai Vijdeluc)

Aflați numerele naturale $n$ și ${\overline {abc}}$ pentru care ${\overline {abc}}\cdot n^{4}={\overline {3abc}}$.

E:15992 (Cristina Vijdeluc și Mihai Vijdeluc)

Aflați numerele naturale $x$ și ${\overline {abcd}}$ pentru care este adevărată relația $5[({\overline {ab}}+{\overline {cd}})({\overline {ad}}+{\overline {cb}})-1]=2022-3^{x}$.

Gazeta Matematică 10/2021

28163 (Dana Heuberger)

Aflați șirul de numere naturale nenule $(a_{n})_{n\geq 1}$ pentru care ${\frac {1}{(1+a_{1})\cdot a_{a_{1}}}}+{\frac {1}{(1+a_{2})\cdot a_{a_{2}}}}+\ldots +{\frac {1}{(1+a_{n})\cdot a_{a_{n}}}}={\frac {n}{n+1}}$, pentru orice $n\geq 1$.

Gazeta Matematică 11/2021

Clasa a VIII-a

S:E21.313 (Cristina Vijdeluc & Mihai Vijdeluc)

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația

$${\frac {x-5}{1013}}+{\frac {x-7}{1014}}+{\frac {x-9}{1015}}={\frac {x+2009}{6}}+{\frac {x+2005}{8}}+{\frac {x+2001}{10}}.$$

Soluție.

Clasa a IX-a

S:L21.287 (Gheorghe Boroica)

Arătați că, pentru orice număr natural $n\geq 3$, ecuația $x^{2}+y^{2}+z^{2}=5^{n}$ are soluții în mulțimea numerelor naturale nenule.

Clasa a XII-a

28203 (Dana Heuberger)

Fie $f:\mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}$ o funcție cu proprietatea

${\mathcal {P}}:f(f(x)-e^{x})=e^{f(x)-e^{x}}+x$, pentru orice $x\in \mathbb {R} .$

1. Dați un exemplu de funcție cu proprietatea ${\mathcal {P}}$ care nu este monotonă.
2. Dați un exemplu de funcție cu proprietatea ${\mathcal {P}}$ care nu este continuă.
3. Fie $f$ o funcție care admite primitive și are proprietatea ${\mathcal {P}}$. Arătați că, dacă $f(x)\geq e^{x}$, pentru orice $x\geq 0$, atunci $f$ este surjectivă.

Gazeta Matematică 12/2021

Clasa a XII-a

28208 (Dana Heuberger)

Considerăm pentagonul convex ABCDE înscris într-un cerc și $H_{1},H_{2},H_{3},H_{4},H_{5}$ ortocentrele triunghiurilor $ACD$, $BDE$, $CEA$, $DAB$, respectiv $EBC$. Arătați că, dacă $H_{1}H_{2}\parallel AB$, $H_{2}H_{3}\parallel BC$, $H_{3}H_{4}\parallel CD$ și $H_{4}H_{5}\parallel DE$, atunci $ABCDE$ și $H_{1}H_{2}H_{3}H_{4}H_{5}$ sunt pentagoane regulate.