28208

28208 (Dana Heuberger, Baia Mare)

Considerăm pentagonul convex ABCDE înscris într-un cerc și $H_{1},H_{2},H_{3},H_{4},H_{5}$ ortocentrele triunghiurilor $ACD$, $BDE$, $CEA$, $DAB$, respectiv $EBC$. Arătați că, dacă $H_{1}H_{2}\parallel AB$, $H_{2}H_{3}\parallel BC$, $H_{3}H_{4}\parallel CD$ și $H_{4}H_{5}\parallel DE$, atunci $ABCDE$ și $H_{1}H_{2}H_{3}H_{4}H_{5}$ sunt pentagoane regulate.

Soluție: Fie $O$ centrul cercului circumscris pentagonului $ABCDE$. Folosind relația lui Sylvester, obținem ${\overrightarrow {OH_{1}}}={\overrightarrow {OA}}+{\overrightarrow {OC}}+{\overrightarrow {OD}}$ și ${\overrightarrow {OH_{2}}}={\overrightarrow {OB}}+{\overrightarrow {OD}}+{\overrightarrow {OE}}.$ Avem ${\overrightarrow {H_{1}H_{2}}}={\overrightarrow {OH_{2}}}-{\overrightarrow {OH_{1}}}={\overrightarrow {AB}}+{\overrightarrow {CE}}$ și, cum $H_{1}H_{2}\parallel AB,$ rezultă că $AB\parallel CE$, deci $AE=BC$ și $H_{1}H_{2}=|CE-AB|.$

Analog, din $H_{2}H_{3}\parallel BC,$ obținem $AB=CD$ și $H_{2}H_{3}=|AD-BC|$, din $H_{3}H_{4}\parallel CD$ deducem că $BC=DE$ și $H_{3}H_{4}=|BE-CD|$, iar din $H_{4}H_{5}\parallel DE$ rezultă că $CD=AE$ și $H_{4}H_{5}=|AC-DE|.$

Avem $AB=BC=CD=DE=EA$, prin urmare și arcele de cerc subîntinse de laturile pentagonului sunt congruente, deci și unghiurile poligonului $ABCDE$ sunt congruente. În concluzie, pentagonul $ABCDE$ este regulat.

Din $AE\parallel BD$ și ${\overrightarrow {H_{1}H_{5}}}={\overrightarrow {AE}}+{\overrightarrow {DB}}$, obținem $H_{1}H_{5}=DB-AE$ și $H_{5}H_{1}\parallel AE.$ Deducem că $H_{1}H_{2}=H_{2}H_{3}=H_{3}H_{4}=H_{4}H_{5}=H_{5}H_{1}$ și că unghiurile lui $H_{1}H_{2}H_{3}H_{4}H_{5}$ sunt congruente cu cele ale pentagonului regulat $ABCDE$, deci $H_{1}H_{2}H_{3}H_{4}H_{5}$ este un pentagon regulat.