Gazeta matematică 2015: Difference between revisions

Revision as of 12:01, 2 November 2024

Gazeta Matematică 1/2015

Clasa a X-a

27020 (Gheorghe Szöllösy)

Să se calculeze suma $\sum _{k=0}^{\left[{\frac {n}{2}}\right]}{\frac {1}{4^{k}\cdot (k!)^{2}(n-2k)!}},\quad n\geq 1.$

Clasa a XI-a

27022 (Guntter Gotha)

Fie $f:\left[a,b\right]\to \mathbb {R}$ o funcție cu proprietatea lui Darboux și cu $f\left(a\right)\cdot f\left(b\right)>0$ . Mulțimea $M=\left\{x\in \left[a,b\right]\,|\,f\left(x\right)=0\right\}$ este finită și are un număr impar de elemente. Demonstrați că $f$ are un punct de extrem local ce aparține mulțimii $M$ .

Clasa a XII-a

27024 (Gheorghe Szöllösy)

Fie $I_{n}=\int _{0}^{\pi }{\frac {\cos nx}{13-12\cos x}}\,dx,n\geq 0.$ Să se calculeze $\lim _{n\to \infty }(I_{0}+I_{1}+I_{2}+\ldots +I_{n}).$

Gazeta Matematică 2/2015

Clasa a XI-a

27036 (Radu Pop)

Să se determine funcțiile derivabile $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ cu proprietățile:

a) $f^{\prime }$ este funcție strict crescătoare;

b) $f^{\prime }(0)=0;$

c) $f(yf^{\prime }(x))+f(x)f(y)=xyf^{\prime }(x)f^{\prime }(y)$ , oricare ar fi $x,y\in \mathbb {R}$ .

Gazeta Matematică 3/2015

Gazeta Matematică 9/2015

Clasa a VIII-a

E:14892 (Radu Pop & Ienuțaș Vasile)

Fie triunghiul $ABC$ cu $m\left(\sphericalangle C\right)>30^{\circ }$ și punctele $M$ , $P$ , $R$ , $T$ . Punctul $M$ este situat în interiorul triunghiului $ABC$ astfel încât $m\left(\sphericalangle BMA\right)=120^{\circ }$ și $m\left(\sphericalangle BCM\right)=30^{\circ }$ , punctul $P\in \left(MD\right.$ astfel încât $\left[MP\right]\equiv \left[MB\right]$ cu $AM\cap BC=\left\{D\right\}$ , iar $R\in \left(AB\right)$ și $T\in \left(AC\right)$ astfel încât $m\left(\sphericalangle RBM\right)={\frac {1}{2}}\cdot m\left(\sphericalangle RPM\right)$ și $m\left(\sphericalangle TPM\right)=2\cdot m\left(\sphericalangle TCM\right)$ .

Arătați că ${\frac {1}{2}}\cdot m\left(\sphericalangle RPT\right)=m\left(\sphericalangle MRT\right)+m\left(\sphericalangle MTR\right)$
Determinați măsura unghiului $\sphericalangle ARM$
Arătați că $m\left(\sphericalangle MRT\right)+m\left(\sphericalangle MAT\right)=m\left(\sphericalangle DMC\right)$

Clasa a XI-a

S:L15.228 (Iulian Bunu)

Fie șirul de numere reale $\left(a_{n}\right)_{n\geq 1}$ , cu $a_{1}=5$ , $a_{2}=7$ , $a_{3}=10$ și $a_{n+1}=a_{1}+a_{2}+\ldots +a_{n-1}-a_{n}$ pentru orice $n>3$ și $\left(b_{n}\right)_{n\geq 1}$ , cu $b_{n}=\sum \limits _{k=1}^{n}a_{k}$ . Calculați $\lim \limits _{n\to \infty }{\dfrac {b_{2n}}{b_{2n+1}}}$

Clasa a XII-a

S:L15.231 (Andrei Horvat-Marc)

Fie $\left(a_{n}\right)_{n\geq 1}$ un șir crescător de numere reale strict pozitive cu $\lim \limits _{n\to \infty }a_{n}=a$ . Arătați că

\lim \limits _{n\to \infty }{\dfrac {a-a_{n}}{\ln {\frac {a}{a_{n}}}}}=a

@@ Line 50: / Line 50: @@
 ''Fie șirul de numere reale'' <math> \left(a_n \right)_{n\ge 1}</math>, ''cu'' <math>a_1=5</math>, <math>a_2 = 7 </math>, <math>a_3 =10 </math> ''și'' <math>a_{n+1} = a_1+a_2+\ldots + a_{n-1} - a_n </math> p''entru orice'' <math>n>3</math> ''și'' <math> \left(b_n \right)_{n\ge 1}</math>, cu <math> b_n  = \sum\limits_{k=1}^n a_k</math>. ''Calculați'' <math> \lim\limits_{n\to \infty} \dfrac{b_{2n}}{b_{2n+1}}</math>
+=== Clasa a XII-a ===
+'''[[S:L15.231]] (Andrei Horvat-Marc)'''
+''Fie <math>\left(a_n\right)_{n\ge 1}</math> un șir crescător de numere reale strict pozitive cu <math>\lim\limits_{n\to \infty} a_n = a</math>. Arătați că <math display="block">\lim\limits_{n\to\infty} \dfrac{a-a_n}{\ln\frac{a}{a_n}} = a</math>''