Gazeta matematică 2021

Gazeta Matematică 6-7-8/2021

E:15990 (Cristina Vijdeluc și Mihai Vijdeluc)

Aflați numărul ${\overline {xyzt}}={\overline {ab}}\cdot {\overline {ac}}$, știind că ${\overline {a,b}}+{\overline {a,c}}=p^{2}$ și ${\overline {ab}}-{\overline {ac}}=q^{2}$, unde p și q sunt numere prime.

E:15991 (Cristina Vijdeluc și Mihai Vijdeluc, Baia Mare )

Aflați numerele naturale $n$ și ${\overline {abc}}$ pentru care ${\overline {abc}}\cdot n^{4}={\overline {3abc}}$.

E:15992 (Cristina Vijdeluc și Mihai Vijdeluc)

Aflați numerele naturale $x$ și ${\overline {abcd}}$ pentru care este adevărată relația $5[({\overline {ab}}+{\overline {cd}})({\overline {ad}}+{\overline {cb}})-1]=2022-3^{x}$.

Gazeta Matematică 10/2021

28163 (Dana Heuberger)

Aflați șirul de numere naturale nenule $(a_{n})_{n\geq 1}$ pentru care

$${\frac {1}{(1+a_{1})\cdot a_{a_{1}}}}+{\frac {1}{(1+a_{2})\cdot a_{a_{2}}}}+\ldots +{\frac {1}{(1+a_{n})\cdot a_{a_{n}}}}={\frac {n}{n+1}}$$

pentru orice $n\geq 1$.

Gazeta Matematică 11/2021

28203 (Dana Heuberger)

Fie $f:\mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}$ o funcție cu proprietatea

${\mathcal {P}}:f(f(x)-e^{x})=e^{f(x)-e^{x}}+x$, pentru orice $x\in \mathbb {R} .$

1. Dați un exemplu de funcție cu proprietatea ${\mathcal {P}}$ care nu este monotonă.
2. Dați un exemplu de funcție cu proprietatea ${\mathcal {P}}$ care nu este continuă.
3. Fie $f$ o funcție care admite primitive și are proprietatea ${\mathcal {P}}$ . Arătați că, dacă $f(x)\geq e^{x}$, pentru orice $x\geq 0$, atunci $f$ este surjectivă.

28206 (Dana Heuberger)

Fie $\left(G,\cdot \right)$ un grup cu elementul neutru $e$ care conține subgrupurile proprii, distincte, finite $H_{1}$, $H_{2}$ și $H_{3}$, astfel încât pentru orice permutare $\sigma \in S_{3}$ și orice $a\in H_{\sigma \left(1\right)}\setminus \left\{e\right\}$, $b\in H_{\sigma \left(2\right)}\setminus \left\{e\right\}$, rezultă că $ab\in H_{\sigma \left(3\right)}$.

1. Arătați că subgrupurile $H_{1}$, $H_{2}$ și $H_{3}$ au același număr de elemente.
2. Dacă $G=H_{1}\cup H_{2}\cup H_{3}$, arătați că grupul $G$ este de tip Klein.

Gazeta Matematică 12/2021

28208 (Dana Heuberger)

Considerăm pentagonul convex ABCDE înscris într-un cerc și $H_{1},H_{2},H_{3},H_{4},H_{5}$ ortocentrele triunghiurilor $ACD$, $BDE$, $CEA$, $DAB$, respectiv $EBC$. Arătați că, dacă $H_{1}H_{2}\parallel AB$, $H_{2}H_{3}\parallel BC$, $H_{3}H_{4}\parallel CD$ și $H_{4}H_{5}\parallel DE$, atunci $ABCDE$ și $H_{1}H_{2}H_{3}H_{4}H_{5}$ sunt pentagoane regulate.