Gazeta matematică 2020

Gazeta matematică 3/2020

E:15678 (Cristina Vijdeluc și Mihai Vijdeluc)

Aflați toate numerele de forma ${\overline {abcd}}$ pentru care

$${\overline {abcd}}=2021+5\left(a-c+b-d+1\right).$$

E:15685 (Cristina Vijdeliuc și Mihai Vijdeliuc)

Se consideră triunghiul dreptunghic $ABC$, cu $\angle A\ =90^{\circ }$ și $\angle B\ =30^{\circ }$. Punctul $D$ aparține laturii $BC$ astfel încât $AD\perp BC$, punctul $M$ este mijlocul segmentului $BC$, iar punctul $E$ aparține laturii $AB$ astfel încât $ME\perp AB$. Arătați că $DE\perp AM$.

Gazeta matematică 4/2020

E:15694 (Traian Covaciu)

Suma a două numere naturale nenule este $2020$. Dacă împărţim primul număr la al doilea, obţinem câtul egal cu restul. Aflaţi cele două numere.

E:15695 (Cristina Vijdeluc şi Mihai Vijdeluc)

Aflaţi numerele de forma ${\overline {ab}},$ ştiind că ${\overline {aaa}}\cdot b+{\overline {bb}}=2020.$

E:15698 (Cristina Vijdeluc și Mihai Vijdeluc, Baia Mare)

Determinați numerele naturale $a$, $b$, $c$ pentru care

$$\left(2020a\right)^{2}+\left(2021b\right)^{2}=2022c^{2}$$

Gazeta matematică 5/2020

E:15714 (Traian Covaciu)

Se consideră mulțimea numerelor naturale de patru cifre, cifre care, într-o anumită ordine, sunt consecutive. Determinați probabilitatea ca, alegând la întâmplare un număr din această mulțime, acesta să fie divizibil cu 36.

Gazeta matematică 9/2020

Mușuroia, N., Savu, I., Clase de șiruri pentru care termenul general nu se poate reprezenta sub formă rațională

E:15760 (Cristina Vijdeluc și Mihai Vijdeluc, Baia Mare)

Aflați numerele naturale ${\overline {abcd}}$ și $n$ pentru care ${\overline {abcd}}+a+b+c+d=n!.$

E:15761 (Cristina Vijdeluc și Mihai Vijdeluc, Baia Mare)

Aflați numerele naturale ${\overline {ab}}$ pentru care $3^{a}+4b={\overline {ab}}.$

E:15765 (Cristina Vijdeluc și Mihai Vijdeluc, Baia Mare)

Determinați numerele prime $a<b<c<d$ știind că

$$79a+90b+21c+77d=2020.$$

Gazeta matematică 10/2020

E:15777 (Anca Mihiș, Baia Mare)

Arătaţi că numărul natural

$$A=\left(2^{2}\cdot 2^{4}\cdot 2^{6}\cdot \ldots \cdot 2^{2020}\right):\left(2\cdot 2^{3}\cdot 2^{5}\cdot \ldots \cdot 2^{2019}\right).$$

este pătratul unui număr natural.

Gazeta matematică 11/2020

27930 (Nicolae Mușuroia)

Fie $z_{1},z_{2}$ respectiv $z_{3}$, afixele vârfurilor triunghiului $A_{1}A_{2}A_{3}$, înscris în cercul $C(0,1)$. Arătați că triunghiul $A_{1}A_{2}A_{3}$ este echilateral dacă și numai dacă $(z_{1}+z_{2})(z_{2}+z_{3})(z_{3}+z_{1})\not =0$ și ${\frac {1}{z_{1}+z_{2}}}+{\frac {1}{z_{2}+z_{3}}}+{\frac {1}{z_{3}+z_{1}}}=0$.

Supliment

S:E21.313 (Cristina Vijdeluc & Mihai Vijdeluc)

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația

$${\frac {x-5}{1013}}+{\frac {x-7}{1014}}+{\frac {x-9}{1015}}={\frac {x+2009}{6}}+{\frac {x+2005}{8}}+{\frac {x+2001}{10}}.$$

S:L21.287 (Gheorghe Boroica)

Arătați că, pentru orice număr natural $n\geq 3$, ecuația $x^{2}+y^{2}+z^{2}=5^{n}$ are soluții în mulțimea numerelor naturale nenule.