Gazeta matematică 2021: Difference between revisions

Latest revision as of 09:24, 3 January 2025

Gazeta Matematică 6-7-8/2021

E:15990 (Cristina Vijdeluc și Mihai Vijdeluc)

Aflați numărul ${\overline {xyzt}}={\overline {ab}}\cdot {\overline {ac}}$ , știind că ${\overline {a,b}}+{\overline {a,c}}=p^{2}$ și ${\overline {ab}}-{\overline {ac}}=q^{2}$ , unde p și q sunt numere prime.

E:15991 (Cristina Vijdeluc și Mihai Vijdeluc, Baia Mare )

Aflați numerele naturale $n$ și ${\overline {abc}}$ pentru care ${\overline {abc}}\cdot n^{4}={\overline {3abc}}$ .

E:15992 (Cristina Vijdeluc și Mihai Vijdeluc)

Aflați numerele naturale $x$ și ${\overline {abcd}}$ pentru care este adevărată relația $5[({\overline {ab}}+{\overline {cd}})({\overline {ad}}+{\overline {cb}})-1]=2022-3^{x}$ .

Gazeta Matematică 10/2021

28163 (Dana Heuberger)

Aflați șirul de numere naturale nenule $(a_{n})_{n\geq 1}$ pentru care

{\frac {1}{(1+a_{1})\cdot a_{a_{1}}}}+{\frac {1}{(1+a_{2})\cdot a_{a_{2}}}}+\ldots +{\frac {1}{(1+a_{n})\cdot a_{a_{n}}}}={\frac {n}{n+1}}

pentru orice

n\geq 1

.

Gazeta Matematică 11/2021

28203 (Dana Heuberger)

Fie $f:\mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}$ o funcție cu proprietatea

${\mathcal {P}}:f(f(x)-e^{x})=e^{f(x)-e^{x}}+x$ , pentru orice $x\in \mathbb {R} .$

Dați un exemplu de funcție cu proprietatea ${\mathcal {P}}$ care nu este monotonă.
Dați un exemplu de funcție cu proprietatea ${\mathcal {P}}$ care nu este continuă.
Fie $f$ o funcție care admite primitive și are proprietatea ${\mathcal {P}}$ . Arătați că, dacă $f(x)\geq e^{x}$ , pentru orice $x\geq 0$ , atunci $f$ este surjectivă.

28206 (Dana Heuberger)

Fie $\left(G,\cdot \right)$ un grup cu elementul neutru $e$ care conține subgrupurile proprii, distincte, finite $H_{1}$ , $H_{2}$ și $H_{3}$ , astfel încât pentru orice permutare $\sigma \in S_{3}$ și orice $a\in H_{\sigma \left(1\right)}\setminus \left\{e\right\}$ , $b\in H_{\sigma \left(2\right)}\setminus \left\{e\right\}$ , rezultă că $ab\in H_{\sigma \left(3\right)}$ .

Arătați că subgrupurile $H_{1}$ , $H_{2}$ și $H_{3}$ au același număr de elemente.
Dacă $G=H_{1}\cup H_{2}\cup H_{3}$ , arătați că grupul $G$ este de tip Klein.

Gazeta Matematică 12/2021

28208 (Dana Heuberger)

Considerăm pentagonul convex ABCDE înscris într-un cerc și $H_{1},H_{2},H_{3},H_{4},H_{5}$ ortocentrele triunghiurilor $ACD$ , $BDE$ , $CEA$ , $DAB$ , respectiv $EBC$ . Arătați că, dacă $H_{1}H_{2}\parallel AB$ , $H_{2}H_{3}\parallel BC$ , $H_{3}H_{4}\parallel CD$ și $H_{4}H_{5}\parallel DE$ , atunci $ABCDE$ și $H_{1}H_{2}H_{3}H_{4}H_{5}$ sunt pentagoane regulate.

@@ Line 1: / Line 1: @@
 == Gazeta Matematică 6-7-8/2021 ==
+'''[[E:15990]] (Cristina Vijdeluc și Mihai Vijdeluc)'''
+''Aflați numărul'' <math>\overline{xyzt}= \overline{ab}\cdot\overline{ac}</math>, ''știind că'' <math>\overline{a,b}+\overline{a,c}=p^2</math> și <math>\overline{ab}-\overline{ac}=q^2</math>, ''unde p și q sunt numere prime.''
+'''[[E:15991]] (Cristina Vijdeluc și Mihai Vijdeluc, Baia Mare )'''
+''Aflați numerele naturale <math>n</math> și <math>\overline{abc}</math> pentru care <math>\overline{abc}\cdot n^4=\overline{3abc}</math>.''
+'''[[E:15992]] (Cristina Vijdeluc și Mihai Vijdeluc)'''
+''Aflați numerele naturale <math>x</math> și <math>\overline{abcd}</math> pentru care este adevărată relația <math>5[(\overline{ab}+\overline{cd})(\overline{ad}+\overline{cb})-1]=2022-3^x</math>.''
 == Gazeta Matematică 10/2021 ==
@@ Line 6: / Line 18: @@
 ''Aflați șirul de numere naturale nenule <math>(a_n)_{n\geq1}</math> pentru care
-<math>\frac{1}{{(1+a_1) \cdot a_{a_1}}} + \frac{1}{{(1+a_2) \cdot a_{a_2}}} + \ldots + \frac{1}{{(1+a_n) \cdot a_{a_n}}} = \frac{n}{{n+1}}</math>, pentru orice <math>n \geq 1</math>.''
+<math display="block">\frac{1}{{(1+a_1) \cdot a_{a_1}}} + \frac{1}{{(1+a_2) \cdot a_{a_2}}} + \ldots + \frac{1}{{(1+a_n) \cdot a_{a_n}}} = \frac{n}{{n+1}}</math>''pentru orice'' <math>n \geq 1</math>.
 == Gazeta Matematică 11/2021 ==
+'''[[28203]] (Dana Heuberger)'''
+''Fie <math> f:  \mathbb{R} \longrightarrow  \mathbb{R} </math> o funcție cu proprietatea
+<math>\mathcal{P}: f(f(x)-e^x)=e^{f(x)-e^x} + x</math>, pentru orice <math>x\in \mathbb{R}.</math>
+<ol type="a"><li> Dați un exemplu de funcție cu proprietatea <math> \mathcal{P}</math>  care nu este monotonă. </li>
+<li>  Dați un exemplu de funcție cu proprietatea <math> \mathcal{P}</math>  care nu este continuă.</li>
+<li>  Fie <math>f</math> o funcție care admite primitive și are proprietatea <math> \mathcal{P}</math> . Arătați că, dacă <math>f(x)\ge e^x</math>, pentru orice <math>x\ge 0</math>, atunci <math>f</math> este surjectivă.</li></ol>''
+'''[[28206]] (Dana Heuberger)'''
+''Fie <math>\left(G,\cdot\right)</math> un grup cu elementul neutru <math>e</math> care conține subgrupurile proprii, distincte, finite <math>H_1</math>, <math>H_2</math> și <math>H_3</math>, astfel încât pentru orice permutare <math>\sigma \in S_3</math> și orice <math>a \in H_{\sigma\left(1\right)} \setminus \left\{e\right\}</math>, <math>b \in H_{\sigma\left(2\right)} \setminus \left\{e\right\}</math>, rezultă că <math>ab \in H_{\sigma\left(3\right)}</math>.
+''
+<ol type="a"><li> ''Arătați că subgrupurile <math>H_1</math>, <math>H_2</math> și <math>H_3</math> au același număr de elemente.''</li>
+<li>''Dacă <math>G = H_1 \cup H_2 \cup H_3</math>, arătați că grupul <math>G</math> este de tip Klein.''</li></ol>
 == Gazeta Matematică 12/2021 ==
+'''[[28208]] (Dana Heuberger)'''
+''Considerăm pentagonul convex ABCDE înscris într-un cerc și <math>H_1, H_2, H_3, H_4, H_5</math> ortocentrele triunghiurilor'' <math>ACD</math>'','' <math>BDE</math>'','' <math>CEA</math>'','' <math>DAB</math>'', respectiv'' <math>EBC</math>''. Arătați că, dacă <math>H_1H_2 \parallel AB</math>, <math>H_2H_3 \parallel BC</math>, <math>H_3H_4 \parallel CD</math> și <math>H_4H_5 \parallel DE</math>, atunci'' <math>ABCDE</math> ''și <math>H_1H_2H_3H_4H_5</math> sunt pentagoane regulate.''