Gazeta matematică 2012

Gazeta Matematică 3/2012

E:14310 (Traian Covaciu)

Fie $n,n+2,n+6$ trei numere naturale și Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle S } suma lor.

a) Dați exemplu de cel puțin trei valori pentru $n\in \mathbb {N}$ astfel încât numerele $n,n+2,n+6$ să fie simultan numere prime.

b) Dacă $n,n+2,n+6$ sunt simultan numere prime, arătați că există $k\in \mathbb {N}$ astfel încât $S=9k+5$.

c) Dacă $n,n+2,n+6$ sunt numere prime, determinați restul împărțirii numărului Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle S} la Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 18 } .

Gazeta Matematică 4/2012

E:14331 (Cristina Vijdeluc și Mihai Vijdeluc)

Fie $n\geq 2$ un număr natural. Arătați că numărul $n^{4}+n^{2}+3$ nu poate fi scris ca sumă a două numere prime.

E:14336 (Gh. Szöllösy)

Fie Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a} și $b$ două numere reale nenule, fixate. Determinați toate funcțiile $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ cu proprietatea:

$$f(x)-f(y)=(ax+by)f(x)f(y),$$

pentru orice $x$ și $y$ numere reale.

Gazeta Matematică 9/2012

E:14380 (Vasile Ienuțaș)

Determinați cifrele $a$ și $b$ știind că Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \overline{ab}=(a+b)(a+b-1)} .

E:14383 (Gheorghe Gherasim)

Numerele naturale distincte Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a} , $b$ verifică $9\cdot [\,a,b]\,=a\cdot b\cdot (\,a\cdot b)\,$.

i) Arătați că $a$ și $b$ nu sunt prime între ele.

ii) Arătați că diferența numerelor este cel puțin $3$.

Se consideră că $[a,b]$ reprezintă cel mai mic multiplu comun al numerelor Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a} și Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle b} , iar $(a,b)$ este cel mai mare divizor comun al numerelor $a$ și $b$.