Gazeta matematică 2015: Difference between revisions

Revision as of 11:14, 2 November 2024

Gazeta Matematică 1/2015

Clasa a X-a

27020 (Gheorghe Szöllösy)

Să se calculeze suma $\sum _{k=0}^{\left[{\frac {n}{2}}\right]}{\frac {1}{4^{k}\cdot (k!)^{2}(n-2k)!}},\quad n\geq 1.$

Clasa a XI-a

27022 (Guntter Gotha)

Fie $f:\left[a,b\right]\to \mathbb {R}$ o funcție cu proprietatea lui Darboux și cu $f\left(a\right)\cdot f\left(b\right)>0$ . Mulțimea $M=\left\{x\in \left[a,b\right]\,|\,f\left(x\right)=0\right\}$ este finită și are un număr impar de elemente. Demonstrați că $f$ are un punct de extrem local ce aparține mulțimii $M$ .

Clasa a XII-a

27024 (Gheorghe Szöllösy)

Fie $I_{n}=\int _{0}^{\pi }{\frac {\cos nx}{13-12\cos x}}\,dx,n\geq 0.$ Să se calculeze $\lim _{n\to \infty }(I_{0}+I_{1}+I_{2}+\ldots +I_{n}).$

Gazeta Matematică 2/2015

Clasa a XI-a

27036 (Radu Pop)

Să se determine funcțiile derivabile $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ cu proprietățile:

a) $f^{\prime }$ este funcție strict crescătoare;

b) $f^{\prime }(0)=0;$

c) $f(yf^{\prime }(x))+f(x)f(y)=xyf^{\prime }(x)f^{\prime }(y)$ , oricare ar fi $x,y\in \mathbb {R}$ .

Gazeta Matematică 3/2015

Gazeta Matematică 9/2015

Clasa a VIII-a

E:14892 (Radu Pop & Ienuțaș Vasile)

Fie triunghiul $ABC$ cu $m\left(\sphericalangle C\right)>30^{\circ }$ și punctele $M$ , $P$ , $R$ , $T$ . Punctul $M$ este situat în interiorul triunghiului $ABC$ astfel încât $m\left(\sphericalangle BMA\right)=120^{\circ }$ și $m\left(\sphericalangle BCM\right)=30^{\circ }$ , punctul $P\in \left(MD\right.$ astfel încât $\left[MP\right]\equiv \left[MB\right]$ cu $AM\cap BC=\left\{D\right\}$ , iar $R\in \left(AB\right)$ și $T\in \left(AC\right)$ astfel încât $m\left(\sphericalangle RBM\right)={\frac {1}{2}}\cdot m\left(\sphericalangle RPM\right)$ și $m\left(\sphericalangle TPM\right)=2\cdot m\left(\sphericalangle TCM\right)$ .

Arătați că ${\frac {1}{2}}\cdot m\left(\sphericalangle RPT\right)=m\left(\sphericalangle MRT\right)+m\left(\sphericalangle MTR\right)$
Determinați măsura unghiului $\sphericalangle ARM$
Arătați că $m\left(\sphericalangle MRT\right)+m\left(\sphericalangle MAT\right)=m\left(\sphericalangle DMC\right)$

@@ Line 37: / Line 37: @@
 == Gazeta Matematică 9/2015 ==
+=== Clasa a VIII-a ===
+'''[[E:14892]] (Radu Pop & Ienuțaș Vasile)'''
+''Fie triunghiul'' <math>ABC</math> ''cu'' <math>m\left(\sphericalangle C\right) > 30^\circ</math> ''și punctele'' <math>M</math>, <math>P</math>, <math>R</math>, <math>T</math>. ''Punctul'' <math>M</math> ''este situat în interiorul triunghiului'' <math>ABC</math> ''astfel încât'' <math>m\left(\sphericalangle BMA\right) = 120^\circ</math> ''și <math>m\left(\sphericalangle BCM\right) = 30^\circ</math>, punctul <math>P\in \left(MD\right.</math> astfel încât <math>\left[MP\right] \equiv \left[MB\right]</math> cu <math>AM \cap BC = \left\{D\right\}</math>, iar <math>R\in \left(AB\right)</math> și <math>T \in \left(AC\right)</math> astfel încât <math>m\left(\sphericalangle RBM\right) = \frac{1}{2} \cdot m\left(\sphericalangle RPM\right)</math> și <math>m\left(\sphericalangle TPM\right) = 2 \cdot m\left(\sphericalangle TCM\right)</math>.''
+# ''Arătați că'' <math>\frac{1}{2} \cdot m\left(\sphericalangle RPT\right) = m\left(\sphericalangle MRT\right) + m\left(\sphericalangle MTR\right)</math>
+# ''Determinați măsura unghiului'' <math>\sphericalangle ARM</math>
+# ''Arătați că'' <math> m\left(\sphericalangle MRT\right) + m\left(\sphericalangle MAT\right) = m\left(\sphericalangle DMC\right)</math>